2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计第二课时

2.5

平面向量应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法

寿县二中 齐晓通

一、教学目标

知识与技能：理解掌握用向量方法（基底法和坐标法）解决简单的平面几何问题。

过程与方法：通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何中的意义。

情感、态度与价值观：通过学习体会数形结合的思想方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

二、重点难点 重点：用向量方法（基底法和坐标法）解决实际问题的基本方法。

难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题。

三、教材与学情分析

本课内容为人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书A版数学4必修》第109页，平面几何中的向量方法。

本节以平面向量的应用独立成节，目的在于加强向量的方法、体现向量的价值、强调数学应用。向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具。教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量知识与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，同时要熟练掌握向量法的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

四、教学方法

在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

五、教学过程

（一）情境创设

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。

1. 解决有关夹角、长度等的计算或度量问题。

（1）两个向量的数量积：

ababcos

1 

（2）平面向量的夹角公式：

cosab

ab （3）向量模的公式：a2a2aaax2y2

2.解决直线平行、垂直、三点共线、

三线共点等位置关系。

（1）共线向量定理：a∥b（b0）存在唯一实数λ，使abx1y2x2y10

（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2。

3.向量在平面几何中的应用。

(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件： a∥b（b0）存在唯一实数λ，使abx1y2x2y10

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：

abab0x1x2y1y20

下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。

（二）

新知探究

探究１：推断线段长度关系

例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如图，

ACABAD，DBABAD，你能发现平行

四边形ABCD对角线的长度与两邻边长度之间的关系吗？

猜想：

问题1：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？

D C DABCA B 2222ACDB2(ABAD)从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？

问题2：把这个结论：DCAB

点评：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例1的思维难度，体验特

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殊到一般的数学思想. 问题3：题中的几何问题可转化为向量问题吗？

DC

ABAC2DB22(AB2AD2)

小结向量方法（基底法）解决几何的步骤：

（1）选择两个不共线的向量作为基底

（2）用基底表示相关向量 （3）把几何问题转化为只含有基底向量的运算 （4）把向量关系翻译成几何关系 为了便于记忆，我们把这种方法称为基底法.

问题4：还可以选择其它基底吗？向量可以用坐标运算吗？

y

D(x0,y0) C

j

O(A) 

iB(b,0) x 小结向量方法（坐标法）解决几何的步骤：

建立适当的坐标系

用坐标表示向量

把几何问题转化为向量的坐标运算．

把向量关系翻译成几何关系 为了便于记忆，我们把这种方法称为坐标法. 探究2：三点共线问题

例2：在平行四边形ABCD中，已知DE13AB,

DF14DB，求证：A、E、F三点共线. DECFAB

分析：

3

第一步：转化AE//AF 第二步：运算（平形四边形习惯用基底法）

第三步：翻译

小结规律方法：用基底法判定A，B，C三点共线的步骤：

(1)证其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线．

(2)说明两向量有公共点．

(3)下结论，即A，B，C三点共线．

例2变式1：如图，已知AOB900,AOC450，且OA2,OC若A、B、D三点共线，求实数k的值.

B

(k,-k) D

O A

C

分析：

第一步：转化AB//AD

第二步：运算

第三步：翻译

问题5：用基底法还是用坐标法证明方便呢？

学生分组讨论交流，展示学生证明过程，教师点评.本题用向量几何运算（基底法）和代数证明（坐标法）均可，但同时，指出对平行四边形的问题，习惯用基底法，如果题目存在垂直的两个向量时，习惯用坐标法，学生可从中体会，培养学生思维的灵活性，培养学生的常规解法。

点评：本例利用的方法与例题1大致相同，分别用了基底法和坐标法，教学中引导学生仔细体会，以达到融会贯通，灵活运用之功效。

（三）总结规律方法

1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是：①几何问题向量化；②向量运算代数化；③向量结果几何化。简述：形到向量

向量的运算向量和数到形。

2、用向量解决平面几何问题的方法

①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算。

②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算。

2,OB1，设ODkOC. y 90A(2,0) 45x O C(1,-1) 六、课堂小结

本节主要学习了用向量解决平面几何的两种方法：基底法和坐标法。

七、课后作业

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教材P113 习题2.5 A组

1、2 八、教学反思

平面向量是高考考查内容之一，主要考查概念、线性运算、基本定理、坐标表示及实际运用，考查重点是基础知识、基本技能和数形结合的思想方法，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇。本节课主要深入研究利用向量解决平面几何的两种方法：基底法和坐标法。通过对两道高考题的分析与探究，既让学生体会了高考题的命题方式与难度，又归纳总结了解决这类问题的两种方法。本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花，可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力。

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