二次根式的混合运算教学设计

16．1.1 二次根式

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：

二、探索新知

很明显3、10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一6些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，a有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、”称为二次根号．

11、x（x>0）、0、42、-2、、xy（x≥0，y•≥0）．

xxy

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“第二，被开方数是正数或0．

”；

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、、42、1x1．

xy

例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•3x1才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，3x1在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P5练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x3+

分析：要使2x3+2x3中的≥0和1在实数范围内有意义？

x113131在实数范围内有意义，必须同时满足x11中的x+1≠0．

x1

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1 322x30

x10

当x≥-且x≠-1时，2x3+321在实数范围内有意义．

x1

例4(1)已知y=2x+x2+5，求的值．(答案:2) (2)若a1+b1=0，求a2004+b2004的值．(答案:)

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

25xy

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P5

1，2，3，4 2．选用课时作业设计．

16.1.2 二次根式(2)

教学内容

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）．

教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（127）=______；（）2=_______；（0）2=_______．

32

老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（（727）=，（0）2=0，所以

22121）=，33（a）2=a（a≥0）

例1

计算

1．（2 3257）

2．（35）2

3．（）2

4．（）226

分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，

22

2525772(7)（）=，（）=2．

62426

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2

（2279）

（）2

（0）2

（4）2 438(35)2(53)2

四、应用拓展

例2

计算

1．（x1）2（x≥0）

2．（a2）2

3．（a22a1）2

4．（4x212x9）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0

（x1）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a22a1=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（4x212x9）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4

(3) 2x2-3 分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P5

5，6，7，8 2．选用课时作业设计．

16.1 二次根式(3)

教学内容

a2＝a（a≥0）

教学目标

理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键

1．重点：a2＝a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．a（a≥0）是一个非负数；

3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

22=_______；0.012=_______；()2=______；

()2=________；02=________；()2=_______．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

22=2；0.012=0.01；()2=11012323；()2=；02=0；()2=．

1037371102337

因此，一般地：a2=a（a≥0）

例1

化简

（1）9

（2）(4)2

（3）25

（4）(3)2

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）•去化简．

解：（1）9=32=3

（2）(4)2=42=4

（3）25=52=5

（4）(3)2=32=3

三、巩固练习

教材P7练习2．

四、应用拓展

例2

填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若a2=a，则a可以是什么数？

（2）若a2=-a，则a可以是什么数？

（3）a2>a，则a可以是什么数？

分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（

）2”中的数是正数，因为，当a

≤0时，a2=(a)2，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1）因为a2=a，所以a≥0；

（2）因为a2=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简(x2)2-(12x)2．

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：a2=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P5习题16．1

3、4、6、8．

2．选作课时作业设计．