方差的应用教学实录及点评

20.2 数据的波动程度

一、教材分析

本节课是在学生学***均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量后，学习刻画数据波动（离散）程度的量，即方差。

当两组数据的平均数相等或相近时，为了更好地作出选择，经常要去了解一组数据的波动程度，可以画图的方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画图的方法会不够准确，这就需要一个新的量来刻画，自然引入方差。方差是刻画一组数据波动大小的统计量，方差与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。

二、教学目标：

1、知识与技能：1）理解方差的概念和意义，学会方差的计算公式和具体应用。

2)了解方差的求法。用方差对实际问题作出判断。

2、过程与方法：1）经历对数据的处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据的处理能力。

2）通过方差的大小，解决生活中的问题，培养学生解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观：

通过解决现实情境中的问题，提高学生数学统计的素养，用数学的眼光看世界。

三、教学重点难点：

重点：1、方差的概念和意义。2、从方差的计算结果对实际问题作出解释和决策。

难点：理解方差的意义。

四、教法与学法分析：

教法：情境教学法、讨论法、练习法。

学法：自主学习法、合作学习法。

五、教学准备

教师准备：多媒体、课件、直尺、三角板、计算器。

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学生准备：练习本、三角板、直尺、计算器。

六、教学过程设计

活动1：创设情境，以趣激情

要从甲、乙两名同学中选出一名代表班级参加射击比赛，两人最近7次射击训练成绩如下表所示：

序号

甲命中的环数（环）

乙命中的环数（环）

一

7 10 二

8 6 三

7 10 四

8 6 五

10 8 （1）请你计算这两组数据的平均数；

（2）根据这些数据统计，你认为最佳的人选是谁？

师生行为：先上学生独立思考3—4分钟，然后让学生在各自的小组中讨论、解释、交流自己的发现。教师可以参与到某个或几个小组中倾听。

主要引导学生思考：你认为需要选择什么样的统计量加以比较呢？针对这个问题进行讨论、解释、交流，动手操作（计算平均数、中位数、众数）。

（设计意图：方差的理解是本节课的难点。因此设计个更贴近学生生活的例子，让学生在独立思考、合作交流中认识、理解方差的重要性。）

活动2：探究新知（方差的概念）

问题1：考虑学过的统计量，用平均数、众数、中位数来分析、比较，无法判断。那么如何选出最佳人选？

问题2：如何考察成绩的稳定性？

问题3：请设计统计图反映甲乙两人射击成绩的分布图。

问题4：观察画出的统计图（折线图或者散点图），谁的成绩更稳定？

问题:5：为反映波动性，应该将5次命中的环数与什么量进行比较？

（设计意图：通过一系列富有启发性、层层深入的问题，引导学生广泛的思考和探究，培养学生的合情推理能力。一步步分化，让学生更容易理解方差的概念和意义，突破本节课的难点。）

教师讲解：为了刻画一组数据的波动程度，可以采用很多方法。统计学中常用下面的做法来量化这组数据的波动大小。

设有n个数据x1，x2，···，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 (x1－x)2，(x2－x)2，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用

2

s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋···＋(xn－x)2]，

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差(variance)，记作s2．（师板书）

问题6：数据的波动与方差之间的关系式怎样的？

师引导学生阅读教材125页第三段内容，进行解释并板书：方差刻画数据的波动程度：方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小。

问题7：利用方差公式分析甲、乙两人成绩的波动程度。

师板书示范：

解：甲、乙两人的射击平均成绩分别是：略

22由s甲＜s乙可知，甲的成绩更稳定，所以甲是参赛的最佳人选。

1n师生行为：师生交流、归纳、总结。

（设计意图：使学生深刻体会到数学来源于实践，又作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识。）

活动3：应用概念，加深理解

课本第124页问题：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)，如下表：

甲

乙

7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.5 7.4 7.41 7.41 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

师生行为：学生独立完成，可用计算器计算。师巡堂，投影展示学生的解题过程，稍作点评。

（设计意图：让学生类比用样本的平均数估计总体的平均数一样，用样本的方差来估计总体的方差。但用样本的方差来估计总体的方差时，先要计算它们的平均数。）

活动4：应用概念，解决问题

课本第125页例题1：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都教学了

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舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位：cm)分别是：

甲团

乙团

163 163 164 165 164 165 165 166 165 166 166 167 166 168 167 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

师生行为：

教师引导学生分析题意，板书解题过程，学生思考问题，并和教师一起计算、判断、解决问题．重点要理清以下问题：(1)题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么特征？(2)在求方差之前先要求哪个统计量？总结用方差估计数据波动程度操作的步骤．

（设计意图：巩固方差公式，再一次体验方差在生活中的应用，结合实例理解方差的意义，熟悉公式的计算过程为：先计算平均数，再求差，平方后再求平均，进而规范解题格式．）

活动五：练习反馈

学以致用

课本第126页练习(1)(2)．2. 师生行为：

教师呈现练习题，学生独立完成．

（设计意图：问题(1)通过对方差的计算，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的；问题(2)学生先从统计图中获取信息，再计算方差与统计图进行对比，理解方差的意义．）

活动六：课堂小结，

布置作业

教师引导学生结合下列问题回顾本节课所学主要内容：

(1)方差怎样计算？

(2)你如何理解方差的意义？

设计意图：问题(1)引导学生回顾方差的计算公式；问题(2)引导学生思考方差的统计意义．

布置作业：教材第128面复习巩固第1题．

七、目标检测设计

1．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.8222环，方差分别是s甲＝0.65，s乙＝0.55，s丙＝0.50，s丁＝0.45，则射箭成绩最稳2定的是

。

4

2.有一组数据5,4,3,6,7，则这组数据的方差是

。

3.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳水运动员选择赛成绩的平均数x与方差s2：

平均数x（cm）

方差s2（cm²）

甲

561 3.5 乙

560 3.5 丙

561 15.5 丁

560 16.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（

）

A、甲

B、乙

C、丙

D、丁

八、教学设计说明

本节课是按照“从实际问题出发—产生方差的必要性—方差公式的探索和推导—方差公式的使用—解决实际问题—巩固练习—总结反思”这样的主线设计的。

在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾。这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花。本节课的重点是方差的概念和意义。当平均水平相同时，就要分析数据的稳定性。而画折线图是学生比较容易想到的反映数据波动大小的方法，因此在这个环节设计了让学生动手画图实践，锻炼了学生画图的能力，从中体会画折线图是系哦啊书数据波动大小的一种方法，进而引出如何用数值表示一组数据的波动。

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