阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教案和学案内容

空间向量与空间角

信阳一高

彭婧

教学目的：

1.学会运用向量法求二面角的大小。

2.通过探究向量法求解空间角，让学生体会向量法在立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中向量法的“三步曲”。

教学重点：面面角的向量求法；坐标法与向量法的结合。

教学难点：向量角与空间角的联系；法向量坐标的求法；建立适当的坐标系及添加辅助线。

教学方法与手段：

1、教学方法：采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。

2、学习方法：自主探索、观察发现、归纳总结。

3、教学手段：借助多媒体计算机（幻灯片）辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。

教学过程：

一、复习旧知

回顾立体几何中向量法的“三步曲”；二面角的概念。

二、新课讲授

问题：如图,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处.从A,B到直线L(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d,求库底与水

坝所成二面角的余弦值. 水

坝

方法一

几何法

B平移AC至ED 得到库底与水坝所成二面角的平面角即为∠EDB 求解△EDB 得到∠EDB的余弦值

DCl方法二

向量法

AE解：如图，AC=a, BD=b,CD=c,AB=d B化为向量问题

库

底

ABACCDDB

CD进行向量运算

Al

dAB(ACCDDB)2 ACCDDB2(ACCDACDBCDDB)

a2c2b22ACDB a2c2b2-2CADB于是，得 2CADB

acb-d

设向量CA与DB的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。

222222222a2c2b2-d22abcosacb-d

cos

2ab2222a2c2b2-d2“翻译”成对应的几何意义：库底与水坝所成的二面角的余弦值为。

2ab小结：向量法求二面角的方法（1）



ln2

Bn1,n2coscosn1,n2n1

A

关键：找到与棱垂直的两条直线；取其方向向量，把问题转化为求方向向量的夹角；要注意向量的方向。

例题1：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDz⊥底面ABCD，PB⊥面EFD,PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （1）

求二面角B-AP-D的大小。

（2）

求面APB与面

PDC所成的角（锐角）。

解：（1）建立如图空间直角坐标系，设DC=1 11111112

E(0,,)F(，，)所以FE(,,)

22366333PFEyDBCxAPBDF,PBEF

EFD即为二面角CPBD的平面角

cosEFDEFFD1

|EF||FD|20所以EFD60

（2）面APB的法向量n1(,0,)面PDC的法向量n2(1,0,0)

cos1212n1n220

所以面APB与面PDC所成的角（锐角）为45

|n1||n2|2备用练习：已

知



ABC

和

DBC

所在的平面互相垂直，0且

AB



BC



BD



CBA





DBC



120

，求：二面角

A



BD



C

的余弦值。

解：设AB=1建立如图坐标系则

zAO（0，0，0),D(3133,0,0),B(0,,0)C(0,,0),A(0,0,)

2222O面BCD的法向量n2(0,0,1)

B面ABD的法向量n1(1,3,1)

coscos()cosn1,n2

CDyx

n1n255|n1|n2|

小结：向量法求二面角的方法（2）

n2BAln1n1n2n1lln2

小结：1.求二面角大小的公式：

cos







,

n

2



或

cos







cos



n

1

,n

其中cosn12n1,n2n1,n2n1,n2n1,n2分别是二面角的两个半平面的法向量。

2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合方法、向量方法、坐标法。

3.立体几何中的向量法步骤;注意向量的方向、注意向量角与空间角的区别。

作业：习题3.2

A组

9~12题