2.1.2 向量的几何表示优质教案设计

向量加、减法运算及其几何意义教学设计

河北平山实验中学 郝文英

2.2.1

向量加、减法运算及其几何意义教学设计

河北平山实验中学 郝文英

一、

教材分析

《向量的加、减法运算及其几何意义》选自人教版《必修4》第2.2.1节，内容包括向量加、减法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加、减法的运算律及应用。本节课是学***面向量基本概念之后的一节比较重要的课,通过类比数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模的思想。向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算。故本节课在空间向量与立体几何中起着举足轻重的地位。

二、

教学目标

知识与技能

理解和掌握向量加、减法的运算及运算律，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量，并初步学会用向量方法解决几何问题及实际问题。

过程与方法

通过观察物理学中的位移合成实例，动手操作力的合成实验，类比数的运算及运算规律，归纳向量的加法运算及其几何意义，体验数学知识发生、发展的过程，提高数学建模能力。

情感态度价值观

从位移的合成、力的合成实例中得到向量加法运算法则,之后用来解决实际问题（如例2）,让学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。

三、

重点

：向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则。

难点：数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。

四、

教学过程设计

教 学 过 程

（一）、情景导入，激发兴趣

设

计

意

图

（图片演示）下课铃一响，班里某同学总是第一个冲出教学大楼，然后奔向学生公寓，抱出篮球，到球场上挥洒青春的汗水。

老师：这位同学先后途径哪几个？

学生：教学大楼，学生公寓，篮球场。（老师一边在黑板上分 别用点A、B、C表示教学大楼，学生公寓，篮球场并画出其过程）

老师：从位移的角度理解，他的位移是什么？

学生：教学楼到篮球场。

老师：物理课上我们知道位移是向量，从A到B再到C，其结果与从A到C一样，这利用向量的某种运算？

学生：“A到B”加上“B到C”等于“A到C”，加法运算。

老师：上节课我们已经学了向量的几何表示，我们能如何表达这个加法运算？

学生：ABBCAC （老师写在黑板上）

老师：这就是我们今天要学的向量的加法。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

下面我们一起动手做实验，看看任意两个向量的和向量如何求？

B

C

A ABBCAC

（二）、实验探究，启发新知

如图，橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿着GC方向伸长了EO；撤去F1、F2，用另一个力F的作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度，标出相应的点，并描出力的方向和大小（拉伸的长度）。

改变两个力F1、F2的大小和方向，重复以上实验，你能发现F1、F2和F之间的关系么？（学生通过老师演示填下列表格）

位置关系

成一定角度

方向相同

方向相反

以一个贴近学生生活的实例，引出课题“向量的加法运算及其几何意义”，激发学生学习兴趣。

从位移入手，帮助学生清楚认识向量的加法与数的加法在本质上的区别。

从一个特殊的例子中的两个向量到任意的两个向量，由特殊到一般，层层递进。

弹簧秤比课本上的滑轮更易操作

学生亲身参与实验的过程，分类探索，总结归纳。

图

像

表

示

A

O

B

等价于

A

O OC=OA+OB C

b

a+b a

a b

a+b

C(B) 归

纳

位移合成可以看作向量加法平行四边形法则的

物理模型（共起点相加）

位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型（首尾相接）

老师：（演示）将F1变为水平拉力（大小等于F），F2不施加力即为0，此时F1、F2合力为多少？

学生：F 老师：对于零向量与任一向量我们规定：a00aa

由图像可知当向量a与b不共线时，|a+b|<|a|+|b|； 一般的有：|a+b|≤|a|+|b| 这运用了什么知识得到的？

学生：三角形两边之和大于第三边。

思考：a、b处于什么位置时，

（1）|a+b|=|a|+|b| （2）|a+b|=||a|-|b|| （三）、类比练习，探究性质

类比实数的加法运算，探究向量加法的运算规律？

性

质

实数的加法

向量的加法

a0a

a00aa

a(a)0

a(a)0

从力的合成实验，学会如何求两个向量的和向量，体会数学源于生活的道理，更有说服力。

abba

(ab)ca(bc)

例题1. a+b=b+a

(a+b) +c=a+ (b+c) 如图，作ABa,ADb,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD，则BC_____,DC_____,

D 因为AC=AB + BC=a + b AC=AD + DC=b + a b所以a + b=b + a 向量加法满足交换律

A B

练习.结合例题1，你能否画图检验向量加法满足结合律？

aC ba(a+b) +c=a+ (b+c) D a+b+c b+c A

（四）、类比加法，探究减法

一、

提出课题：向量的减法

1．

用“相反向量”定义向量的减法

a B a+b c C b （1）

“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作

a

（2）

规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0

（3）

向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a



b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．

用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a



b

3．

求作差向量：已知向量a、b，求作向量

∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a

类比数加法的运算规律，不完全归纳向量加法的运算规律，增强学生的合情推理能力。

用例题1画图检验向量的交换律。再进一步拓展，学生自主探索带有开放性的问题“向量的结合律”，老师引导学生从平面的探索到空间的探索。

例二、平行四边形ABCD中，ABa，ADb，

D

C 用a、b表示向量AC、DB. 解：由平行四边形法则得：

A

B

AC= a + b，

DB= ABAD = ab

变式一：当a，

b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）

变式二：当a，

b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a，

b互相垂直）

变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

（五）、实际应用，理论迁移

例题2.

长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；

（2）求船实际航行速度的大小与方向. A

变式训练：一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60，求v1和v2.

（六）、小结作业，巩固知识

通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？

1、

向量加、减法的意义；

2、向量加、减法运算法则：三角形法则和平行四边形法则

3、向量的加、减法的运算律：交换律和结合律；

4、一个不等式

|a+b|≤|a|+|b| 作业：（1）P93：第2,3,4题（2）选做题：在△ABC中，求证：ABBCCA0

七、

备用习题：

1.在△ABC中，

BC=a，

CA=b，则AB等于(

)

A.a+b

B.-a+(-b)

C.a-b

D.b-a

2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，

OB=b，

OC=c，

OD

=d，则A.a+b+c+d=0

B.a-b+c-d=0

C.a+b-c-d=0

D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：

a+b=

，b+c=

，c-d=

，a+b+c-d=

.

４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=AB，c-d=DC，并画出b-c和a+d.

第３题

八、

设计反思

本节课的授课对象是普通高中重点班高一学生，学生通过观察物理学中的位移合成实例，动手操作力的合成实验，类比数的运算及运算规律，归纳向量的加法运算及其几何意义，经历数学知识的发生、发展的过程。但由于本节课知识点比较多，如何准确把握时间，详略得当，突出重点，突破难点需要反复试讲揣测。教学是个不断再创造的过程，只有教师本身才能体会其中的乐趣！