复习参考题教学实录

高一数学必修3“统计与概率”复习学案

【知识梳理】

1.常见的抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机数法等），分层抽样。

2.样本的数字特征：平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差。

方差公式：S2_________________________________，

标准差=方差

3. 统计图表：频率分布直方图和茎叶图等。

其中，根据频率分布直方图可得: 众数是_________________________. 平均数等于每个小矩形面积与底边中点横坐标乘积之和. 即x=________________________.

中位数使

左、右两边的直方图的面积__________.通常使左边矩形面积为__________.

4．变量间的相关关系、回归分析：会画散点图，求回归直线方程，并进行预测。

ˆbxa，其中

用最小二乘法求回归直线方程y b

(xix)(yiy)i1n(xx)ii1nxynxy， a_____________,

回归直线必过点________.

iii1nn2xi12inx2x_____________,

y_____________.5.随机事件，事件间的关系(包含关系，相等关系)与运算[并事件(和事件)、交事件(积事件)]：

(1)A，B为互斥事件：AB为__________事件，即AIB=____，即A，B在试验中不会同时发生. (2)A，B为对立事件：AB为__________事件，AB为__________事件，

即A，B在试验中有且仅有一个发生。

6．概率计算：

古典概型的概率计算公式P(A)=_________________________. 列基本事件的方法有：枚举法、列表法、树状图法等。 解题格式：设、列、算、答。

若A,B为互斥事件，则P(A∪B)=____________；

若A,B为对立事件，则P(B)=__________。

【典例分析】

例1．

从含有3件正品和1件次品的件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取2次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

变式：从含有3件正品和1件次品的件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取2次，则取出的两件中恰好有一件次品的概率为_________，取出两件都是正品的概率为_________。

例2. 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x的值；

一年级

二年级

三年级

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，

373 x y 女生

问应在初三年级抽取多少名？

377 370 z 男生

（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比

男生多的概率。

1

例3.（2016年北京高考）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

变式：根据用水量的频率分布直方图，估计用水量的众数为________, 用水量的中位数为_______。

【课后练习】

1. [2014·镇江

检测]假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号______________________________________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)．

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

2.商场有某品牌的奶粉，全部为A，B，C三个批次的产品，这三个批次的产品数量分别为80件,100件,60件，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从A，B，C三个批次的产品中分别抽取的件数分别为_________________．

3. 右图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语

甲组

乙组

听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数

9 0 9

y

8 x

2 为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别

1 5 7 4 2 4

为（

）

（A）2、5 （B）5、5 （C）5、8 （D）8、8

4．右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可

估计样本的重量的中位数为( ) A．11 B．11.5 C．12 D．12.5 变式：由图可估计样本的重量的众数为_______, 平均数为________，重量超过15的频数是_______．

5.[2013·山东高考]将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉

1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的

2

茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

则7个

剩余分数的方差为(

)．

11636 B． C．36 D．67

9776. 样本a1,a2,,a10的平均数为a,样本b1,A．的平均数为( ) A. ab B. ,b10的平均数为b,则样本a1,b1,a2,b2,,a10,b10

11ab C. 2ab D. ab

2102变式：样本a1,a2,...,a10的平均数为a,方差为s，标准差为s.则

样本3a12,3a22,L,3a102的平均数为_________, 方差为_______，标准差为_______. 7.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别乙

甲

用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是（ ）

8 8

9 9

9

8

3

A.x甲x乙，且甲比乙成绩稳定

B.x甲x乙，且乙比甲成绩稳定

1 9 0

1

2 C.x甲x乙，且甲比乙成绩稳定

D.x甲x乙，且乙比甲成绩稳定

8.变量x与y的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量u与v的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．若变量y与x之间的线性ˆduc，则(

) ˆbxa，变量v与u之间的线性回归方程为v回归方程为yA. b＜0,d＜0 B．b＞0,d ＞0 C．b＞0, d＜0, D．d ＝b

9.已知两个变量x和y之间的一组数据如下表所示：

由散点x 9 9.5 10 10.5 11 图可知， y与x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方y 11 m 8 6 5 ^程是y＝－3.2x＋40，则m＝________．

10．(2015·广东，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(

) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 11．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是(

) 1113A. B. C. D.

632812．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(

)

A.至少有一个黒球与都是黒球

B.至少有一个黒球与至少有1个红球

C.至少有一个黒球与都是红球

D.恰有1个黒球与恰有2个黒球

13.（2011广东理13.）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____ cm.

3

14．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：

(1)画出散点图；

3

4

5

6

7 天数t(天)

(2)求y关于t的线性回归方程；

2.5

3

4

4.5

6 繁殖个数y(千个)

(3)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，

细菌繁殖个数．

15. 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

1 2 3 4 5 编号n （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学

70 76 72 70 72 成绩xn 成绩的标准差s; （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。

16．

将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．

（1）求事件“xy3”的概率；（2）求事件“xy2”的概率．

17.某校高三级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加学校的演讲比赛. （1）求男生a被选中的概率；（2）求男生a和女生d至少有一人被选中的概率.

4

18．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。

19.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I）求直方图中a的值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.

5

高一数学必修3“统计与概率”复习学案参考答案

【知识梳理】2．方差公式：S21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，

n3. 众数是最高矩形底边中点的横坐标.

xx1p1x2pxnpn

2中位数使左、右两边的直方图的面积相等.通常使左边矩形面积为0.5

1n1n4．

aybx,

回归直线必过点(x,y). xxi,

yyi. 5.不可能，，不可能，必然

ni1ni16．P(A)=A包含的基本事件的个数m P(AB）=P(A)+P(B）; P(B）=1－P(A) 基本事件的总个数n【典例分析】 例1．

139 变式：,

8162例1.设正品分别为a,b,c, 次品为1，从中不放回地依次取2件的基本事件有：

ab, ac, a1, ba, bc,b1, ca, cb, c1, 1a, 1b, 1c, 共12个，

取出的两件中恰好有1件次品的基本事件有：

a1, b1, c1, 1a, 1b, 1c, 共6个，

61所以，取出的两件中恰好有1件次品的概率为,即.

122

变式：本题有放回地依次取2件的基本事件，比上面多了4个：aa, bb, cc, 11, 则n=16, 63取出的两件中恰好有1件次品的基本事件仍然有6个，概率为,即.

1689取出两件都是正品的基本事件有9个，概率为.

16779或：取出两件至少1件次品的概率为,两件都是正品的概率为1.

161616例2. 解：（1）

x0.1

9



x380

2000（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，

4850012

名. 2000（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；

由（2）知

yz500

，y≥245，z≥245，且

y,zN,

基本事件空间包含的基本事件有：

（245，255）、（246，254）、（247，253）、（248，252）、（249，251）、（250，250）、（251，249）、（252，248）、（253，247）、（254，246）、（255，245）共11个

事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个,

P(A)5

,

即初三年级中女生比男生多的概率为5. 1111

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：例3.解：（I）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w至少定为3．

（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

1 2 3 4 5 6 7 8 组号

分组

频率

2,4

0.1

4,6

0.15

6,8

0.2

8,10

10,12

12,17

17,22

22,27

0.25

6 0.15

0.05

0.05

0.05

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5（元）．

变式：2.25；

2.1 用水量的众数为：22.50.50.45

用水量的中位数为：22.25 立方米；2.1 立方米.

20.5

【课后练习】

1. 785，667，199，507，175 2． 20, 25, 15 3. C

4．C，变式：12,

20.

设中位数为x.因为0.0650.30.5, x100.10.50.3,解得x12.

平均数的估计值为：

x7.50.312.50.517.50.212

重量超过15的频数是：[1-（0.06+0.1）×5]×100=20

5.

B解析：∵模糊的数为x，则：90＋x＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7，

x＝4，

2909122919122949128791236方差s＝＝. 7726. B 变式：3a2, 9s, 3s 7.B

8. C 2m9. 10 x10,y6m,点(5,6m)在回归直线上，63.21040,m10.

55510．B

11．C. 依题意，将题中的两张卡片排在一起组成两位数共有6种情况：12,13,20,21,30,31，其中31所组成的两位数为奇数有3种情况：13, 21, 31，，因此所求的概率等于＝，故选C. 6212.D 13. 185 cm. 13.解析:根据题中所提供的信息,可知父亲与儿子的对应数据可列表如下:

父亲的身高(x) 173 170 176

儿子的身高(y) 170 176 182

x173, y173, b(xx)(yy)iii13(xx)ii1320(6)(3)0361,

aybx1761733,222

0(3)3ˆx3,从而可预测他孙子的身高为 1823185 (cm).所以回归直线方程为y

14．

解](1)散点图(略)；

－－(2)由表中数据计算得，t＝5，y＝4，5(ti15it)(yiy)＝8.5，(tit)2＝10，

i15(tit)(yiy)^^－^－^8.5＝0.85，ab＝i1＝y－bt＝－0.25.

所以回归方程为y＝0.85t－0.25. 510(tit)2i1^(3)将t＝8代入回归方程中,得y＝0.85×8－0.25＝6.55.故预测t＝8时细菌繁殖个数为6.55千个．

7

51615. 解：（1）xxn75

x66x

x6757076727072n6n1n11612222

s(xnx)2(521352315)249，s7.

6n1690,（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，

故所求概率为2.

5

16．

解：设x,y表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,1，2,2，……，6,5，6,6，共36个基本事件．

（1）用A表示事件“xy3”，则A的结果有1,1，1,2，2,1，共3个基本事件．

311．

答：事件“xy3”的概率为．

361212（2）用B表示事件“xy2”，则B的结果有1,3，2,4，3,5，4,6，6,4，5,3，∴PA82．

答：事件“xy2”的概率为2．

936917.解：从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表的可能选法是：a,b,c；a,b,d；a,b,e；4,2，3,1，共8个基本事件．∴PBa,c,d；a,c,e；a,d,e；b,c,e；b,c,d；b,d,e；c,d,e共10种.

（1）男生a被选中的情况：a,b,c；a,b,d；a,b,e；a,c,d；a,c,e；a,d,e，共有6种，

于是男生a被选中的概率为63.

105（2）男生a和女生d至少有一人被选中的情况：a,b,c；a,b,d；a,b,e；a,c,d；a,c,e；a,d,e；b,c,d；b,d,e；c,d,e，共有9种，故男生a和女生d至少有一人被选中的概率为另解：男生a和女生d都未被选中的情况有1种：b,c,e，其概率为1，

9.

1010故男生a和女生d至少有一人被选中的概率为9.

10

18.解：（1）甲、乙两班10名同学的平均身高分别为：

X甲1(182179179171170168168163162158)=170 101X乙(181179178176173170168165162159)=171.1 10由此可知，乙班的平均身高较高；

122222（2）甲班的样本方差为

s[(158170)2162170163170168170168170

1022222

170170171170179170179170182170]

1[12292921202(2)2(2)2(7)2(8)2(12)2]

10=57.2 =

8

(3)乙班身高不低于173cm的同学共有5名，从这5名同学中随机抽取两名，共有10种等可能的结果，分别是(173,176) ，(173,178)，(173,179)，(173,181)，(176,178)，(176,179)，(176,181)，(178,179)，(178,181)，(179,181)，其中，身高为176cm的同学被抽中的情况有4种，是(173,176) ，

(176,178)，(176,179)，(176,181)，

设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，则，身高为176cm的同学被抽中的概率为P(A)=42。

105

19.【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1, ∵频率=(频率/组距)*组距

∴0.50.080.160.40.520.120.080.042a1，

得a0.3

（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.50.120.080.04=12%

∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6(万) （III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：0.50.080.160.30.40.520.73, 即73%的居民月均用水量小于2.5吨, 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.5x3

假设月均用水量平均分布，则x2.585%73%=2.5+0.42.9（吨）. 0.3

注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。

9