探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质课教案设计

高一数学同步练习

必修4

第一章三角函数的图象及性质

一、

三角函数的图象与性质

A.基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π3π，1，(π，0)，，－1，(2π，0)．

(0,0)，22(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π3π，0，(π，－1)，，0，(2π，1)．

(0,1)，222．三角函数的图象和性质

函数性质

y＝sin x

y＝cos x

y＝tan x

定义域

R

R

π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2

图象

值域

[－1,1]

π对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) 2对称中心：(kπ，0)(k∈Z)

周期

2π

单调增区间

[－1,1]

对称轴：x＝kπ(k∈Z) πkπ＋，0k∈Z

对称中心：22π

R

无对称轴

kπ对称中心：2，0(k∈Z) π

对称性

单调性

2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z)；

22单调减区间

单调增区间

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；

单调减区间

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) ππkπ－，单调增区间kπ＋22(k∈Z)

2kπ＋π，2kπ＋3π(k∈Z) 22奇偶性

奇

1 偶

奇

B.方法与要点

1、两条性质

(1)周期性

2ππ函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. |ω||ω|(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．

2、三种方法

求三角函数值域(最值)的方法：

(1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

C.双基自测

πx＋，x∈R(

)．

1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos3A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

π2．函数y＝tan4－x的定义域为(

)．

ππx≠kπ＋

，k∈Z

D.xx≠2kπ＋

，k∈Z

C.x44ππx≠kπ－，k∈Z

B.xx≠2kπ－，k∈Z

A.x443．已知k＜－4，则函数y2cosx1k(cosx1)的最小值是(

) (A) 1

(B) －1

(C) 2k＋1

(D) －2k＋1 πx－的图象的一个对称中心是(

)．

4．y＝sin43π3ππ－，0 C.，0

D.，0

A．(－π，0)

B.422π2x＋的最小正周期为________．

5．函数f(x)＝cos62D.考点解析

考点一

三角函数的定义域与值域

【例1－1】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域．

π|x|≤的最大值与最小值．

(2)求函数y＝cos2x＋sin x4

2

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①yasinxb，设tsinx化为一次函数yatb在闭区间t[1,1]上的最值求之；

②形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

③形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

④形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【训练1】（1）求函数y＝sin x－cos x的定义域．

（2）（06年辽宁卷）已知函数f(x)11(sinxcosx)sinxcosx,则f(x)的值域是

222,1

(C) (A)1,1

(B) 2

21,

(D) 221,

2cos2x(3) （04年广东卷）当0x时,函数f(x)的最小值是

(

) 4cosxsinxsin2x

A. 4

B.

11

C.2

D.

24考点二

三角函数的奇偶性与周期性

【例2－1】►判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期. （1）f(x)sinx

（2）f(x)sinx

（3）f(x)＝log2cosx

（4）f(x)＝3sin(

求三角函数的最小正周期的一般方法：

①先化为yAsin(x)，在由公式Tx2)

2求之；

②由周期函数的定义：f(xT)f(x)求得

③

一般地，ysin(x)或ycos(x)的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半

3

【例2－2】►设有函数fxasinkx和xbtankx,k0，若它们的最小正周33期的和为3，且f，f31，求fx和x的解析式。

22244

【例2－3】►已知函数f(x)log122sin(x)．

4（1）求它的定义域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．

【训练2】

1、定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x[0,2]时，f(x)sinx，则f(A. 1

25)的值为

3133B.

C. 

D.

2222、函数ysin

A

x的最小正周期是

2

B



C

2

D

4

2y O B x y O C x y O D x 3、函数yxcosx的部分图象是

y O A x

4、给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线x的是

3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②

（

）

D．ysin(2xA．ysin(x)

B．ysin(2x)

C．ysin|x|

2664 6)