2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案2

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

学情分析：

学生在物理课中已学过力的分解，所以容易接受向量分解这一知识，但对平面向量基本定理的理解和熟练应用是学生学习的一个难点.向量的正交分解及坐标表示是平面向量基本定理的一个应用，学生较易掌握. 教学目标

1.

知识与技能

（1）了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角与向量垂直的概念；

（2）会用基向量表示平面中的任一向量，能简单的应用平面向量基本定理掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

2.

过程与方法

（1）通过对平面向量基本定理的探究及用坐标表示平面向量的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程；

（2）培养学生观察、发现问题的能力，通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一.

3.情感态度价值观

（1）用实力激发学生学习的兴趣，发展学生的数学应用意识；

（2）经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法. 教学重难点

重点：平面向量基本定理的探究，向量正交分解，以及平面向量的坐标表示. 难点：对平面向量基本定理的理解及其应用. 教学过程

一、复习巩固

1.

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa. 长度：（1）|λa|=|λ||a|；

方向：（2）λ>0时,λa与a方向相同；

λ<0时,λa与a方向相反；

λ=0时,λa =0.

2.

平面向量共线定理是什么？ 非零向量a与向量b共线 存在唯一实数λ，使b＝λa. 3.若存在实数λ，使ABAC，则A、B、C三点的位置关系如何？

ABACA、B、C三点共线

二、讲授新课

（一）导入新课

在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？

（二）平面向量基本定理

思考探究1

（1）给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？ （2）设e1，e2是平面内任意两个不共线的向量，a是这一平面内的任一

向量，通过作图，我们来探究a与e1，e2之间的关系。

→→→如图，在平面内任取一点O，作OA＝e1，OB＝e2，OC＝a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由向量→→→→→的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM＝λ1e1，ON＝λ2e2.由于OC＝OM＋ON，所以a＝λ1e1＋λ2e2.也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．

由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．

由此可得：平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 定理说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一．

提出问题

：①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：

→→已知两个非零向量a和b(如图2)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．

显然，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，

使a＝λ1a1＋λ2a2. 应用练习

例1

如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.

（三）平面向量的正交分解

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．例如，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

探究：如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

e1

e2

j

a

aOAOB23i2j

O

i

提出问题

：①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.

①

这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作

a＝(x，y)．

②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．教师应引导学生特别注意以下几点：

(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应．

(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其→相对位置有关系．如图所示，A1B1是表示a的有向线段，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则向量a的坐标为x＝x2－x1，y＝y2－y1，即a的坐标为(x2－x1，y2－y1)．

(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标. 讨论结果：①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

特别地，i＝(1，0)、j＝(0，1) 应用练习

例2如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．

→→解：由图可知，a＝AA1＋AA2＝xi＋yj，∴a＝(2,3)．

同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)．

点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.

→→→变式训练2.i，j是两个不共线的向量，已知AB＝3i＋2j，CB＝i＋λj，CD＝－2i＋j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．

→→→解：∵BD＝CD－CB＝(－2i＋j)－(i＋λj)＝－3i＋(1－λ)j，

又∵A、B、D三点共线，

→→→→∴向量AB与BD共线．因此存在实数m，使得AB＝mBD，

即3i＋2j＝m[－3i＋(1－λ)j]＝－3mi＋m(1－λ)j. ∵i与j是两个不共线的向量，

故3m3,m1,∴∴当A、B、D三点共线时，λ＝3. m(1)2,3.课堂小结

1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合、几何作图．

教学反思

1．本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过“思考”：让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．

2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．

3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．