2.1.2 向量的几何表示教学设计及教案分析

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）

[教学目标]

一、

知识与能力：

1.

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 二、过程与方法：

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点. [教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

[教学难点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题

一、复习回顾

1．

向量的概念；

2．

向量的表示方法：几何表示、字母表示；

3．

零向量、单位向量、平行向量的概念；

4．

在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；

5．

相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；

6．

共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量. 7．

要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

8．

要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；

9．

理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量. 10．

理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；

11．

能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；

12．

能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；

13．

会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线. 二、师生互动，新课讲解

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题. 例1：

证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

1

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证明：设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AOOC，BOOD.AB12AC1112DB，DC2DB2AC,ABDC,

即ABDC且AB//DC所以四边形ABCD是平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式训练1：已知DE是ABC的中位线，用向量的方法证明：DE12BC，且DE//BC.

证明：易知AD12AB,AE12AC,所以DEAEAD12ACAB12BC.

即DE12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.

例2：

用向量方法证明：三角形三条高线交于一点. 证明：设H是高线BE、CF的交点，且设ABa,ACb,AHh则有BHha,CHhb,BCba,BHAC,CHAB,ha·bhb·a0

化简得，h·ba0AHBC所以，三角形三条高线交于一点.变式训练2：证明勾股定理，在RtABC中，ACBC，BCa，ACb，ABc，则c2b2a2.

证明：由ABACCB，得BAB·ABAC·AC2AC?CBCB·CB即|AB|2|AC|20|CB|2，

故c2b2a2.CA

例3：（课本P109例1）已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD.求证：|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2

2

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证明：由|AC|2ACABAD22|AB|2|AD|22AB?AD,|DB|2DBABAD22

|AB|2|AD|22AB?AD得|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2.变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形. 解：如图，四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,ADAOOD,AB·ADAOOB·AOOD2DOC

AAOAO·ODOB·AOOB·OD0ABAD,即ABAD，四边形ABCD是矩形.B

三、课堂小结，巩固反思：

向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果. 四、课时必记：

五、分层作业：

A组：

1、（课本P118复习参考题

A组：NO：5）

2、（课本P118复习参考题

A组：NO：6）

3、（课本P118复习参考题

A组：NO：7）

4、（课本P118复习参考题

A组：NO：8）

5、（课本P118复习参考题

A组：NO：9）

B组：

1、（课本P113习题2.5 A组NO：1）

2、（课本P113习题2.5 A组NO：2）

3

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3、用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 证明：如图平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,BCBOOC|AB|2AOOB2|AO|22AO?OB|OB|2|AO|2|OB|2

|BC|2BOOC2|BO|22BO?OC|OC|2|BO|2|OC|2,|AB||BC|，四边形ABCD是菱形.C组：

DCOAB4