探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质精品学案

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质(二)（1课时）

一、教学目标：

知识与技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；

过程与方法：掌握正余弦函数的奇、偶性的判断；求出正、余弦函数的单调区间。

情感、态度与价值观：激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．

二．重点难点 重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；

难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用

三、教学过程

观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线：

余弦曲线：

_ ]

解析式

y＝sin x y＝cos x

图象

值域

单调性

[－1,1]

[－1,1]

在________________________上递增，

在________________上递增，

在______________上递减

当x＝________________时，ymax＝1；当x＝______________时，ymin＝－1

在________________上递减

当x＝____________时，ymax＝1；当x＝________________时，ymin＝－1 最值

二、题型

类型一

求正弦、余弦函数的单调区间

π例1

求函数y＝2sin4－x的单调递增区间. πππ练习1

函数y＝sin3x＋6，x∈－3，3的单调递减区间为________________. 类型二

正、余弦函数单调性的应用

1、利用正、余弦函数的单调性比较大小

例2

利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. 2317(1)sin 196°与cos 156°

(2)cos－5π与cos－4π. 练2

比较下列各组数的大小. 3749(1)sin－6π与sin3π；

(2)cos 870°与sin 980°. 2、已知三角函数的单调性求参数范围

ππ例3

已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间[－3，4]上是增函数，求ω的取值范围. ππ练3、已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋4在2，π上单调递减，则ω的取值范围是(

) 11513A.2，4

B.2，4

C.0，2

D.(0,2] 3、正、余弦函数的值域或最值

πππ例4

(1)求函数y＝2cos(2x＋3)，x∈(－6，6)的值域；

5(2)求使函数y＝－sin2x＋3sin x＋4取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值. π2π练4、已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为－3，3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值.

三、课堂小结

1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法

ππ把ωx＋φ看成一个整体，由2 π－2≤ωx＋φ≤2 π＋2

( ∈

)解出x的范围，所得π3π区间即为增区间，由2 π＋2≤ωx＋φ≤2 π＋2( ∈

)解出x的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作

3.求三角函数值域或最值的常用方法

将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.

四：教学反思

1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．

2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．