阅读与思考 三角学与天文学教案教学设计导入设计

人教A版高中数学必修四第一章第二节

阅读与思考

三角学与天文学

湖南省永州市宁远县第一中学 何

雄

【教学目标】

1、通过本节课的学习，了解数学中三角学的产生和发展的历史，了解三角学与天文学的关系和发展过程，了解历代数学家的发展观点，体会数学家在天文学方面做出的巨大贡献。

2、了解三角学的主要内容以及三角学与天文学相互促进的发展过程，渗透由抽象到具体，由动到静的思想，体会世界万物互相制约互相促进的规律，树立科学的唯物主义观。

3、了解各位数学家在三角学以及通过三角学的研究，进一步发展三角函数等其它知识过程中作出的贡献，以及三角学如何从天文学中分离出来，然后在新的域继续发光发热的过程，让同学们进一步体会事物发展的客观规律。

4、了解天文学与三角学的综合应用方法—三角视差法，体会古代科学家们的聪明智慧。

【教学重点】

1、三角学与天文学的出现与发展

2、三角学与天文学发展史上各科学家作出的贡献

3、三角视差法在三角学和天文学中的具体应用

【教学难点】

1、体会科学家在数学发展史上的巨大贡献

2、三角视差法的具体应用

【教学准备】

多媒体设备

【教学过程】

1、导入

三角学的起源

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿著海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿著遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。

三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是推算天文观察结果的一种方法，1450年以前的三角学主要是球面三角，在航海、历法推算、天文观测等实践活动中，因为这种

“量天的学问”太具有诱惑力，得到了很多的关注和投入，后来因测量、测绘工作的需要出现平面三角。

就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。

2、三角学的发展及科学家在发展中的成果与贡献

三角学简称三角，包括平面三角和球面三角。传统的三角学以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上的应用目的。

三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，因此在相当长的一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中利用了当时已经积累得相当丰富的算术、几何（包括球面几何）和天文知识。

鉴于此种原因，作为独立的数学分支前，它的贡献者主要是一些天文学家。

最早，古希腊门纳劳斯著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学。而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表。当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分。

雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响。

最先使用三角学一词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯。其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成。希腊tuigonometuia-英文trigonometry

三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度。1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章。

16世纪三角函数表的制作首推天文学家哥白尼的学生奥地利数学家雷蒂库斯（1514～1574）。他讲传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系。将平面三角学从球面三角学中独立出来，制定了精确的三角函数表。

文艺复兴后期，法国数学家韦达（F。Vieta）成为三角公式的集大成者。他总结了前任的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集，同时自己发现了正切

公式、和差化积公式等，还给出了解决球面直角三角形的一整套方法和公式。

1722年英国数学家棣莫弗（A。De Meiver）得到以他的名字命名的三角学定理(cosisin)ncosnisinn，并证明了n是正有理数时公式成立。

1748年欧拉（L。Euler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式eicosisin，欧拉公式与后来引入的复数结合，将三角学的问题化归为复数来讨论，于是复杂的三角学处理方法与工具被“抛到一边”。

16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支。后来，在微积分、物理学的研究和应用（震动、声波）中，三角学又找到了用武之地。

（定理内容

欧拉定理

e^(ix)=cosx+isinx）

e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。将公式里的x换成-x，得到：

e^(-ix)=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2.

这两个也叫做欧拉公式。

上帝创造的公式

将e^(ix)=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^(iπ)+1=0.

这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。）

3、三角视差求天体的距离

（1）动手体验“视差”。

伸出一只手指，分别闭上左、右眼看科比，会发现手指相对于背景物体的位置变动了，手指并没有移动，看起来相对于较远的背景有偏移，是因为观察的位置变动了，这就是生活中的“视差”。

（2）思考一下，古代人们是怎样计算出来宇宙中天体之间的距离的？如何测量？

智慧源于生活，又服务于生活。1838年人类首先想到了测量星体之间的距离，采用的方法就是“三角视差法”。在天文学上，观察者在地球上，以较远的星空为背景，观察一颗较近的恒星。由于地球位置的变动，观察者所见的较近的恒星相对于较远的星空背景就有了偏移。

假设太阳与待观测的恒星没有相对的横向速度，而且太阳、待测恒星和背景星空都是静止的。我们在地球运动到A和B两个点上时观察恒星，就会发现恒星相对于远处天幕的位置发生了变化。在B点看来，相对于在A点，恒星从右边变动到了左边。由于我们假设了恒星和星空都是不动的，出现这种状况的唯一原因就是我们（观察者）在不同的位置上观察恒星时产生了视差。

恒星从右边“移动”到了左边，它的偏移量是一个角度，叫作恒星的“周年角位移”（annual angular shift），或者称为恒星的“周年视差”（annual parallax）。

太阳与地球的绝对距离是149597870700米，这个长度被称作“天文单位”（astronomical

unit），简写为：AU；观察者的视线与太阳和待测恒星的连线（虚线）的夹角被称作“视差（角）”（parallax angle），一般用希腊字母π来表示。不难看出，三角视差的角度是恒星的“周年角位移”或“周年视差”的角度的一半。

通过三角函数，我们可以得到：待测恒星的距离=1AU/tan（π）。

对于除太阳之外的其它任何恒星，π的角度都极小，所以多以“角秒”（arc second）为单位，也就是一度的三千六百分之一。观察者与一颗视差角为1角秒的恒星的距离被称作1“秒差距”（parsec），相当于地球与太阳距离的206265倍，也就是206265AU。

举个例子：一颗恒星的周年视差是0.08''，计算它的距离。

解：三角视差=周年视差/2 = 0.04''距离=1/视差角度（角秒）=1/0.04=25（秒差距）

又=25*3.26=82（光年）

或=25*3.1*10^16=7.8*10^17（米）

可以想象，如果待测恒星距离观察者很近，视差角就会很大。这就是为什么对于越近的物体，其视差偏移就越显著。

【课后思考】查阅书籍和网络信息完成下列任务：

1、开普勒如何发现行星轨道？

2、了解球面三角学及球面三角形与平面三角形的大致异同？

3、查阅三角学和天文学相关资料，了解数学对天文学的发展所起的作用。

【相关知识参考链接】

https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%A6/3393350?fr=aladdin https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%A9%E6%96%87%E5%AD%A6 https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A7%86%E5%B7%AE%E6%B3%95/9956032?fr=aladdin https://baike.baidu.com/item/%E9%9F%A6%E8%BE%BE https://baike.baidu.com/item/%E9%9B%B7%E8%92%82%E5%BA%93%E6%96%AF/7754082?fr=aladdin 【课后反思】

本节课为阅读思考课，能从学生感兴趣天文学入手，假借信息技术工具，让学生从视觉听觉等角度去接触和了解天文学与三角学的起源与发展，让学生能从网络图片中去认识科学史上的伟人以及他们各自的成就，让这节课诚意十足，难能可贵。同时还能在学习三角学的发展史的过程中，让学生体会变化与发展的理念，还加入了学生思考，动手操作，互相讨论，个性展示等环节，这极大提高了这堂课的效果。当然，整堂课的设计，还可以再优化，再补充，各环节还可以有改进的余地，让学生亲自动手上互联网去现场搜索和展示相关内容，更有助于提高学生们的能力和水平。