阅读与思考 三角学与天文学国家获奖教案

“平面向量数量积的物理背景及其含义”教学设计

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了向量的概念及向量的线性运算的基础上,以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念。

二、目标和目标解析

目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

目标解析：首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。因此，结合“课标”要求和学生实际，将本节课的教学目标定为以上三点。

三、教学问题诊断分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

教学的重点是平面向量的数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；教学的难点是平面向量的数量积的定义及运算律的理解；平面向量数量积的应用。

四、教学支持条件分析

以物理知识为背景，建立了数学平面向量数量积的概念和运算；采用多媒体辅助教学，增加课堂容量，提高课堂效率；设计合理的板书，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节课内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

五、教学过程设计

问 题

1.思考：平面向量能进设计意图

师生活动

由加减联想到乘法这引导学生回顾向量的加、减、明确本以及实数与向量的数乘运算，并利行加减运算，那么两个向量是个很自然的问题，激发学生的探用向量运算讨论一些几何元素的位能否进行乘法运算？运算节课的任务，

1

的结果又会是什么呢？ 求欲望。

置关系。如向量的夹角等。

2．问题：回忆物理中“功”的计算，它的大小与

生：WFscos （其中哪些量有关？ 在学生已有的物理中结合向量的学习你有是F和S的夹角）。

“功”的概念的背景下，建什么想法？若一个物体在师：功是一个矢量还是标量？引入平面向量它的大小由那些量来确定？

力F的作用下产生的位移构数学模型，为S，那么力F所做的功W数量积的概念，突出物理背显然功是一个标量，它由力和等于多少？并仿照“功”景的意义，便于学生自然过位移两个向量来确定。从中我们得的概念到一个启发：能否将功看成是两个度和理解。

引入平“向量相乘”的一种运算的结果

面向量呢？从而得出平面向量的“数量积”数量积的概念。 的概念。

明晰数量积的定义

（1）数量积的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量

︱a︱·︱b︱cos

叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos

（2）定义说明：

①记法“a·b”中间的“·

”不可以省略，也不可以用“

”代替。 ②

“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

3．定义向量数量积运 算．定义中涉及哪些量?它是数量还是向量? 4．你能确定两个非零向量的数量积的值何时为正，何时为负吗?它能等于零吗?

们有怎样的关系?运算结果数量积的定义。

教师引导学生认清向量数量积又涉及向量的交角，运算结果是数量。

教师可在学生回答的基础上进引导学生从细节上进一步归纳夹角对投影的正、负情况一步理解向量数量积的定的影响，加深学生对投影的认识．另义。

外，从定义可以直接推出当两个非零向量的夹角为900时，数量积为0。

使学生在形式上认识运算定义中既涉及向量模的大小，5．两个向量的夹角决教师引导学生自主研究，提醒 对两个向量的特殊位定了它们的数量积的符置关系(垂直、共线)下的数学生要有序地思考(夹角从00～号．那么，它们共线或垂直量积进行研究，从细节上认1800有序变化)，然后得出所有关时，数量积有什么特殊性识定义。

系。

呢? 明晰数量积的性质

设a和b都是非零向量，则

1、a⊥b a

·b=0 2、当a与b同向时，︱a·b︱=︱a︱︱b︱；当a与b反向时，

︱a·b︱= -︱a︱︱b︱，

特别地，a·a=︱a︱2或︱a︱=aa

3、︱a·b︱≤︱a︱×︱b︱

2

6．例l的教学。

由学生独立计算完成．教师可 通过计算巩固对定义的以进一步引导学生对ab和ab理解。

的大小关系进行一般的研究。

培养学生的阅读能力和学生通过自主阅读、总结并发7．给学生2~3分钟及时进行归纳小结的学习习时间，阅读教材，并对前惯。把课堂还给学生，体现表自己的看法，老师可以有针对性面所学的内容及研究方法师生间的合作探究，不管是进行学习方法点拨并指出对学习过作一个归纳小结。

老师还是课件，都是为学生程进行及时反思的重要性。

服务的，都在同步配合学生

的学习和探索。

可让学生自己写运算律，学生8．运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。

通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力。

的答案可能有遗漏或错误，老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律。同时注意利用学生错误这一重要的资源，让学生找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识。

明晰数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数λ，则：

（1）a·b= b·a （2）（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）

（3）（a + b）·c=a·c +b·c

9．你能证明向量数量积的运算律吗? 主要是利用定义证明 教师应强调运用定义证明的重“探究”中的(1)，(2)两条要性，(3)的证明学生可能有困难，运算律。

教师可根据学生的情况加以指导。

让学生在类比多项式乘法的基两个例题，层层递进，要求学生体会实际解题中运10．例2、例3的教学。

算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工。

础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明；例3是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范，同时将例题内容与多项式乘法运算进行类比。

学会利用数量积来解决 让学生体会用数量积将几何问11．例4的教学。

12．巩固练习：1、下列两个命题正确吗？为什

垂直问题，体会算法带来的题转化为方程求解．体现向量的工优越性。

安排练习1的主要目的具性。

为了使学生更好的理解数量积3

么？①、若a≠0，则对任是，使学生在与实数乘法比的含义，熟练掌握性质及运算律，一非零向量，有a·b≠较的基础上全面认识数量积并能够应用数量积解决有关问题，0．②、若a≠0，a·b＝这一重要运算；

首先让学生独立完成这两道练习，a·c，则b＝c。

通过练习2使学生学会然后老师点评明晰答案。点评时，2、已知△ABC中，用数量积表示两个向量的夹练习1重点让学生在与实数乘法类ABa,ACb，当角，进一步感受数量积的应比的基础上全面认识数量积这一重试用价值。

要运算；练习2重点给学生分析数与ab0或ab0时，判断△ABC的形状。

13．课堂小结：让学生回顾总结本节课的学习内容及研究、解决问题的方法。

使学生整理相关内容，体会所学知识的引入基础及研究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学 可让学生讨论总结，教师进行点评补充。

形的转化原理。

生思考、解决问题的能力。

六、目标检测设计

1、课本P108习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b

与7a -5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直，

求a与b的夹角。

设计意图：在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

东莞市大岭山中学

曾海玲

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