2.1.3 相等向量与共线向量教学内容

好成绩，从思想教育开始！

第2讲

平面向量基本定理及其坐标表示

【高考会这样考】

1．考查平面向量基本定理的应用．

2．考查坐标表示下向量共线条件．

【复习指导】

本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．

基础梳理

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝ . (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→＝

，|AB→|＝x－x2＋y－y2. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB21213．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当

时，向量a，b共线．

一个区别

向量坐标与点的坐标的区别：

→＝a，点A的位置被向量a唯一确在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA

好成绩，从思想教育开始！

定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如

→＝(x，y)．

点A(x，y)，向量a＝OA→平行移动到O→→→→当平面向量OA1A1时，向量不变，即O1A1＝OA＝(x，y)，但O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

两个防范

(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．

x1y1(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x＝y，因为x2，22y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0. 双基自测

1．已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为(

)．

A．(4,3)

B．(－4，－3) D．(－3,4) C．(－3，－4)

2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(

)．

A．3a＋b

B．3a－b

C．－a＋3b

D．a＋3b

3．设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为(

)．

A．－1

B．1

C．－2

D．2 4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝(

)．

A．(4,6)

B．(－4，－6)

C．(4，－6)

D．(－4,6) 5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. 考向一

平面向量基本定理的应用

【例1】►如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________. 中点，若AM

→＝xAB→＋yAC→，【训练1】

如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD

好成绩，从思想教育开始！

则x＝________，y＝________.

考向二

平面向量的坐标运算

→＝3CA→，CN→＝2CB→.求【例2】►已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→M，N的坐标和MN.

→＝(2,4)，→＝(1,3)，【训练2】

在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若ABAC→＝(

)．

则BDA．(－2，－4)

C．(3,5)

B．(－3，－5) D．(2,4) 考向三

平面向量共线的坐标运算

【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

【训练3】

已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(

)．

77A.9，3

7777－，－B.3 C.3，9

977－，－D.9

3阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误

【问题诊断】

在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．

【防范措施】

一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．

好成绩，从思想教育开始！

→误．→，→＝3CE→，→·→【示例】►在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BDCA则ADBE

＝________. 【试一试】

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，→→|的最小值为________．

P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB平面向量的基本定理及向量坐标运算

(25分钟

50分) 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.若向量BA2,3,CA4,7,则BC等于(

) A.(-2,-4)

C.(6,10)

B.(2,4)

D.(-6,-10)

2.已知向量a,b满足|a|=5,b=(2,4),则“a=(-1,-2)”是“a∥b”成立

的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【加固训练】设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,则2a-b= (

) A.(4,0)

B.(0,4)

C.(4,-8)

D.(-4,8) 4.在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,ANABAC,则λ+μ的值

为(

) 111A. B. C. D.1

2345.△ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若向量m=(a+c,b),n=(b-a,c-a),且m∥n,则角C的大小为(

)

好成绩，从思想教育开始！

2A. B. C. D.

6323

6.在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,S为△ABC的面积,若向量p=(4,a+b-c),q=(1,S)满足p∥q,则∠C=(

) 2223A. B. C. D.

43247. 如图所示,A,B,C是☉O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D,若OCmOAnOB,则m+n的取值范围是(

)

A.(0,1)

B.(1,+∞) D.(-1,0)

C.(-∞,-1)

二、填空题(每小题5分,共15分) AC218.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足OCOAOB,则=

. 33AB9.已知向量a=(x,2),b=(4,y),c=(x,y)(x>0,y>0),若a∥b,则|c|的最小值为

.

10.已知A(7,1)、B(1,4),直线y=于

. (20分钟

40分) 1.(5分)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(

) A.k=-2

B.k=1ax与线段AB交于C,且AC2CB,则实数a等21

2C.k=1

D.k=-1

2. (5分)在△ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,线段CM与BN相交于点P,且错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,则错误！未找到引用源。用a和b表示为(

)

好成绩，从思想教育开始！

A.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。a+错误！未找到引用源。b

B.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。a+错误！未找到引用源。b

C.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。a+错误！未找到引用源。b

D.错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。a+错误！未找到引用源。b

3.(5分)设错误！未找到引用源。=(1,-2),错误！未找到引用源。=(a,-1),错误！未找到引用源。=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。的最小值为

.

4.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0), B(cosθ,t), (1)若a∥AB,且|AB|=5OA,求向量OB的坐标. (2)若a∥AB,求y=cosθ-cosθ+t的最小值.

22

【加固训练】已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求3a+b-2c. (2)求满足a=mb+nc的实数m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.

5.(13分)(能力挑战题)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0. (1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值. (2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.