复习参考题教学评价实录

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

宁晋二中

刘建荣

（一）教学目标：

1.知识与技能：

（1）掌握平面向量的数量积的坐标表示，能进行向量数量积的坐标运算；

（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会判断两向量的垂直关系；

（3）会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题。

2.过程与方法：

经历数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题﹑解决问题的能力。

3.情感﹑态度﹑与价值观：

（1）通过用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明世间事物可以相互联系与转化。

（2）用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地。通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。

（二）教学重点﹑难点

重点：平面向量数量积的坐标表示及运算。

难点：两个向量垂直及向量的长度﹑距离和夹角公式的坐标形式。

（三）教学方法:

本节内容教学中设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，

使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。

（四）教学过程：

教学教学内容

师生互动

环节

1、向量的数量积（内积）的定义：

教师分析，引导学生复习前

复2、向量长度的定义：

课重点……两个向量的数量积

习

的运算性质。由学生口答，教师提3、两个向量垂直的条件：

问

板书向量数量积的定义及向量4、两点之间的距离公式：

设计意图

为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础

的运算律公式。

复：

1.若|a|2,|b|1,a与b夹角为60。，

则ab（）习练习

2.若ab2，|a|1,|b|2,则a与b夹角为（）

3.若a与b垂直，则ab（）4.若|a|2，则aa（）；

若aa9，则|a|（）。5.若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,则ii();jj();ijji();

向量的坐标表示，为我们解决向

学生独立进行每个公式的证

量的加、减、数乘向量带来了极明，教师个别指导

大的方便，那么向量的坐标表示，ab(x1iy1j)(x2iy2j)

对数量积的表达方式会带来哪些引入新变化呢？

问题1 如果已知a=(x1, y1)，b=(x2, 在充分复课

y2) ，怎样用a、b的坐标表示及公式推ab呢？ 问题2：向量的模用坐标表示：设a=(x, y)，则|a|2=x2+y2或x2y2习的基础x1x2iix1y2ijy1x2jiy1y2jj上，培养

学生用旧 知解决新教师展示学生推导过程。

问题的能

力，独立教师小结：

思考探索（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即的意识

abx1x2y1y2

|a|导

(长度公式)

推广：设A(x1, y1) 、B(x2, y2)，则(距离公式)

(2) 向量的长度、距离和夹角公式

问题3：两向量夹角的余弦cosabab2 x1x2y1y2x1y12x2y222（0）(夹角公式)

问题4：:数量积为何值时说明两教师小结：向量垂直的充要条件设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则个向量是垂直的？ a⊥bx1x2+y1y2=0

例1：

已知a(1,2),b(1,1),则abab

x1x2y1y20

要求学生快速完成

巩固向量数量积的坐标运算公式

例2: (1)已知：a2,b1,(ab)b0,求

a与b的夹角。

巩固向量让每组学生代表在黑板上给出数量积的解答。

度量式。培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力

应用

A3，4）、（B5，2），举(2)已知点（例

试用向量的方法求出A、B两点

间的距离。例3：设a= (3, 1)，b = (1, 经过每组同学的讨论，给出最终应用夹角2)，求|a |，|b|，和

结果，

的坐标公学生完成全题，教师展示学生计式，训练算过程。强调解答过程中应该注学生的运意的先写公式，后计算。

算能力

变式训练：

1：已知：A(1,0)，B(3,1)，C(2,0),

学生独立完成，教师指导

则BC与CA的夹角是多少？

例4:已知A(1, 2)，B(2, 3)，

教师教师提问学生完成。

C(2, 5)，

求证：

AB⊥AC

巩固新知

运用向量垂直的坐标表示解决问题

巩固新知

变式训练：

2：在三角形ABC中，AB=（2,3）

学生独立完成，教师指导

AC=(1，k),且角A为直角，

求：k的值。

1、向量数量积的坐标表示，

2. 向量坐标表示的求模公式，

师生共同完成

使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力

归3. 平面内两点间的距离公式，

纳小4. 两向量夹角的余弦，

结

5. 向量垂直的判定

1、

已知坐标原点是正方形ABCD的学生独立完成

当中心，顶点A（2，2），求其他三堂个顶点的坐标。

检2、

已知A（7，5），B（2，3），C（6，测

-7），求证⊿ABC是直角三角形

巩固新知

布练习A 1（3）（4）,2,3 学生独立完成

巩固新知

置作练习B 1 业

一重要公式： 二：例题与练习

板

xxyy书ab1212 设1.

已知a=(x1, y1)，b=(x2, y2)则

计

|a|x2y22：设a=(x, y)，则(长度公式)

3：两向量夹角的余弦cosabab x1x2y1y2x1y122x2y222（0）(夹角公式) 4. a⊥bx1x2+y1y2=0

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