探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计(第二课时)

1．4三角函数的图象与性质

1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象

[教学目标] 1）用单位圆中用正弦线画出正弦函数的图象．

2）用五点法作正弦函数的简图．

3)会求函数y=Asin(x)，x∈R及函数y=Acos (x)，x∈R的周期．

4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性；

5)、正弦函数、余弦函数的单调性；

6)、正弦函数、余弦函数的值域．

[教学重点、难点、疑点] 重点：正弦函数的图象．正弦函数、余弦函数义域上的单调性

难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；

周期定义的理解

掌握正弦函数、函数的奇偶性、单调性、值域．

[教学过程] （一）新课的引入

1、先复习学过的正弦函数、余弦函数的定义，进而把它们定成一个函数：如y=sinx是自变量到函数值，即由实数集到实数集的映射，作为一个新的函数，它有定义域、值域、单

调性、奇偶性等一般函数的性质，也具有一种特殊“周而复始”的变化规律．

观察“简谐运动”的实验，通过这一实验，学生可以直观地感受到正弦曲线、余弦曲线的形状．

2、复习正弦线、余弦线

思考：哪个量能从图形上刻画三角函数？

学生会很自然地想到正弦线、余弦线，因此点出利用单位圆中的三角函数线画正弦函数的一个很自然的方法．

3、在直角坐标系中如何作点（α，sinα）

思考：如何利用几何方法在直角坐标系中

作出点（ππππ，sin）

C（，sin）

3333π

3π横坐标（角）

纵坐标

正弦值（正弦线）

3

引导学生在直角坐标系中寻找

横坐标为ππ

，纵坐标为的正弦线对应的点，

33得出右图：

注：x轴、y轴单位的长度要统一．

思考：借助于作C点的方法能否作出正弦函数y=sinx(x∈R)的图象?

（二）新课

1、用几何法作y=sinx

x∈[0,2π]的图象．

我们知道，作函数的图象的步骤是：列表、描点、连线；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图象误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点C（ππ，sin）的几何方法来描点，从而使图象的精确33度有了提高．

（边画图边讲解），我们先作y=sinx在[0，2π]上的图象，具体分为如下五个步骤：

1）作直角坐标系，并在直角坐标系数中y轴左侧面单位圆；

2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图象越精确），可分别在单位圆中作出对应于x的0，πππ,，,…．，2π的正弦函数线；

6323）找横坐标：把x轴上从0到2π（2π=6．18）这一段分成12等分；

4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点

；

5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx,x∈[0,2π]的图象．

2、作正弦曲线y=sinx,x∈R的图象

图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y=sinx,∈[2kπ,2(k+1) π],k∈Z且k=0的图象与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、右平移（每次2π个单位长度）就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象，如图：

正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫做正弦曲线．

y 1

y=sinx,x∈R -7π5π3ππ3π5π7π

-

-

-

x

22222222-4π

-3π

-2π

-π

-1

π

2π

3π

4π

3、五点法作y=sinx,x∈[0,2π]的简图

师：在作正弦函数y=sinx,x∈[0,2π] 的图象时，我们描了12个点，但其中起关键作用的是函数y=sinx,x∈[0,2]与x轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次说出它们的坐标吗？

生：（0，0），（π3π，1），(π,0),（，-1），（2 π，0）

22师：事实上，只要指出这五个点，y=sinx,x∈[0,2]的图象的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．

4、用变换法作余弦函数

y=cosx,x∈R的图象

y 1

y=cosx,x∈R -7π5π3πππ3π5π7π

-

-

-

x

22222222

-4π

-3π

-2π

-π

-1

π

2π

3π

4π

因为y=cosx=sin(x+ππ)，所以y=cosx, x∈R与y=sin(x+)是同一个函数，即余弦函数的22图象可以通过正弦曲线向左平称个长度单位角得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线，如图：

师：请同学们说出在函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的五个点的坐标．

生：（0，1），（π3π，0），（π,-1），（，0），（2π，1）

225、例题：

课本例1，思考：1、函数y=1+sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[0,2π]的图象有何联系？

2、函数y=cosx,x∈[0,2π]与函数y=-cosx, x∈[0,2π]的图象有何联系？

发现：y=sinx,x∈[0,2π] 向上平移1个单位

y=1+sinx, x∈[0,2π]

y=-cosx, x∈[0,2π]

关于x轴对称

y=-cosx, x∈[0,2π]

2、周期函数的定义

引导学生观察下列图表及正弦曲线



-2

-

2

33x 0 -

2222sinx

0 1 0 -1 0

1 0 -1 0

y=sinx,x∈R

y -753357

-

-

-

x

22222222-4

-3

-2

-

-1



2

3

4

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

联想诱导公式sin(x+2k)=sinx(k∈Z)若令f(x)=sinx，则f(x+2k)=f(x)，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

如2，4及-2，-4都是正弦函数的周期．

注：周期函数定义中，

一是T是常数且不为零；

二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

师：请同学们思考下列问题：

1）对于函数y=sinx，x∈R有sin(生：不能说+)=sin能否说是正弦函数y=sinx的周期．

4242是正弦函数y=sinx的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的第一个值2都使等式sin(x+)=sinx成立，所以不合周期函数的定义．

22）f(x)=x2是周期函数吗？为什么？

生：若是周期函数，则有非零常数T，使f(x+T)=f(x)，即(x+T)2=x2，化简，得T(2x+T)＝０，∴T=0（不非零），或T=-2x，（不是常数），故满足非零常数T不存在，因而f(x)不是周期函数．

思考题：若T为f(x)的周期，则对于非零整数k，kT也是f(x)的周期．

2、最小正周期的定义

师：我们知道，-4，-2，2，4都是正弦函数的周期，可以证明2k

(k0且k∈Z) 是f(x)=sinx的周期，其中2是f(x)=sinx的最小正周期．

一般地，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

今后若涉及到的周期，如果不另特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

依据定义，y=sinx和y=cosx的最小正周期为2．

3、例题：

例1

求下例函数的周期：

1）y=3cosx ,x∈R；

2）y=sin2x, x∈R；

3）y=2sin(1x-),x∈R．

26分析：由周期函数的定义，即找非零常数T，使f(x+T)=f(x)．

解：（1）因为余弦函数的周期是2，所以自变量x只要并且至少要增加到x+2，余弦函数的值才能重复取得，函数y=3cosx, x∈R的值也能重复取得，从而函数y=3cosx，x∈R的周期是2．

即f(x)=3cosx=3cos(x+2)=f(x+2)，∴T=2

(2)令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=sinz，z∈R的周期是2，就是说，z变量只要并且至少要增加到z+2函数y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而z+2=2x+2=2(x+)所以自变量x只要并且至少要增加到x+，函数值就能重复取得，从而函数y=sin2x，x∈R的周期是．

即f(x)=sin2x=sin(2x+2)=sin2(x+)=f(x+) ∴T=

(3)令z=由于

1x-，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的周期是2，261x-)+2=(x+4)-，所以自变量x只要并且至少要增加到x+4，函数2661值才能重复取得，即T=4是能使等式2sin[(x+T)- ]=2sin(x-)成立的最小正数，

6261从而函数y=2sin(x-)，x∈R的周期是4．

26z+2=(

而f(x)=2sin(11x-)=2sin(x-+2)=2sin[(x+4)-]=f(x+4)，∴T=4

26266师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关，其规律如何？你能否求出函数y=Asin(x)，x∈R及函数y=Acos (x)，x∈R（其中A，，，为常数，且A0，＞0）的周期？

生：f(x)=Asin(x)=Asin(x+2)=Asin[(x+

∴T=22)+]=f(x+)

2

2．

同理可求得y=Acos(x)的周期T=

例2 求证：

（1）y=cos2x+sin2x的周期为；

；

2（3）y=|sinx|+|cosx|的周期为．

2（2）y=sin4x+cos4x的周期为分析：依据周期函数定义f(x+T)=f(T)证明．

证明：（1）f(x+)=cos2(x+)+sin2(x+) =cos(2x+2)+sin(2x+2) =cos2x+sin2x=f(x) ∴f(x)的周期为．

)=sin4(x+)+cos4(x+) 22244=cosx+sin=f(x) ∴f(x)的周期为．

2（3）f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)| 222（2）f(x+=|cosx|+|sinx|=f(x) ∴f(x)的周期为．

2

3、正余弦函数的奇偶性

请同学们观察正弦曲线、余弦曲线．y 1

y=sinx,x∈R -753357

-

-

-

x 22222222-4

-3

-2

-

-1



2

3

4

y 1

y=cosx,x∈R

-753357

-

-

-

x 22222222-4

-3

-2

-

-1



2

3

4

它们的图象有何特征？

生：正弦曲线y=sinx，x∈R的图象关于原点对称，余弦曲线y=cosx，x∈R的图象关于y轴对称．

师：根据它们的图象特征，你能否确定它们的奇偶性？并证明你的结论．

生：y=sinx，x∈R是奇函数，证明如下f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，∴f(x)=sinx，x∈R为奇函数．

y=sinx，x∈R是偶函数，证明如下：

f(x)=cos(-x)=cosx=f(x)，∴f(x)=cosx，x∈R为偶函数．

4、正弦函数、余弦函数的单调性

观察正弦曲线可以看出：当x由-1，当x由可知．

正弦函数在每一个闭区间[在每一个闭区间[-增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到223增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性223+2k,+2k](k∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；22+2k,+2k](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1．

22类似地，我们可得到余弦函数的单调性：

余弦在每一个闭区间[(2k-1),2k](k∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2k, (2k+1)](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1．

3、正弦函数、余弦函数的最大值、最小值．

例题：课本例3，例4，例5