2.3.1 变量之间的相关关系教学设计(教案)

变量间的相关性

【考点突破】

考点1

相关关系的判断

【基础知识重温】

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

2．相关系数的计算公式

若r[1,0.75][0.75,1]，则两变量相关性很强.若r(0.75,0.30][0.30,0.75)，则两变量相关性一般，否则即说无相关性. 【方法规律技巧】

相关关系与函数关系的异同点：

(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．

(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．

②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

【题组全面展示】

【1-1】观察下列各图形．

其中两个变量x、y具有相关关系的图是(

) A．(1)(2)

B．(1)(4)

C．(3)(4)

D．(2)(3)

【1-2】某公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如表所示的一组数据(单位：kg) [来源学科网ZXXK]施化肥量x

棉花产量y

15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1)画出散点图；

1

(2)判断是否具有相关关系．

【新题变式探究】

【变式一】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(

) A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

【变式二】变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(

) A．r2

B．0

C．r2<0

D．r2＝r1

[来源学科网]

考点2 回归分析与线性回归方程

【基础知识重温】这里集中展示与本考点相关的基础知识. 1.线性相关关系与回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2.回归方程

①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

②回归方程：方程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)的回归方程，其中a,b是待定系数.



3.回归分析

①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)中，

2

x1x2...,xny1y2...ynx,y，aybx,(x,y)称为样本点的中心. nn③相关系数

a．计算公式：

b．当r>0时，表明两个变量正相关；

当r<0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间相关性越弱．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

【方法规律技巧】要求丰富，资料中有很多，结合到一起，进行整合. 1.用最小二乘法求回归直线方程的步骤

2.

回归方程的应用

利用回归方程可以对总体进行预测估计,回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸,使我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量的值,在现实生活中有广泛的应用.

【题组全面展示】

【2-1】设(x1,y1),(x2,y2)，…，(x3,y3)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（ ）

3

（A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间

（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

（D）直线l过点(x,y)

【2-2】改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2005年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2001年编号为1,2002年编号为2，……，2005年编号为5，数据如下：

年份（x）

人数（y）

1 3 2 5 3 8 4 11 5 13 （1）从这5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于10人的概率. （2）根据这5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程ybxa，并计算第8年的估计值。

参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式bxynxyiii1nnxi12inx2,aybx

【新题变式探究】

【变式一】某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

（1）画出散点图；

（2）求回归直线方程；

（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

ˆ（可能用到的公式：bxynxyiii1nnxi1ˆ是对回归直线方程yˆ，其中aˆabx中系数a、ˆybxˆ、b，a2inx2b按最小二乘法求得的估计值）

ˆ2x256，这表明 （ ）

【变式二】废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为yA．y与x的相关系数为2 B．y与x的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1 C．废品率每增加1%，生铁成本增加258元

D．废品率每增加1%，

生铁成本平均每吨增加2元

4