2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示板书设计及意图

《平面向量正交分解及坐标表示》教学设计

教学目的：

1、了解平面向量的正交分解；

2、掌握平面向量的坐标表示。

教学重难点：平面向量的坐标表示。

授课类型：新授课

教学用具：多媒体

教学过程：

一、复习引入

如果e、是同一平面内的两个 不共线的向量，1e2那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，可使 a1e1 +2e2

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. [提出问题] 问题1：在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？（唯一）

问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量定理，

OA.根据平面向量基本OA＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？（相同）

问题3：如果向量OA也用(x，y)表示，那么这种向量OA与实数对(x，y)之间是否一一对应？（一一对应）

思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4), D(5,7). 设 ，OAi,OBj填空：

|i|_____,|j|______,（1）

|OC|______;

（2）若用

i,j表示

OC,OD则OC OD

（3）向量CD能否由i,j表示出来？可以的话，如何表示？

二、导入新知

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得

a=xi+yj

，则

(x,y) 叫做a的坐标，记作

a=(x,y)

，此式叫做向量的坐标表示．

3．向量i，j，0的坐标表示

i＝ (1,0) ，j＝ (0,1) ，0＝ (0,0) ．

辨析点的坐标与向量的坐标

(1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．

(2)书写不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)．

(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．

(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．

x1＝x2，即：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔y1＝y2.

注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同. 三、题型讲解

例1、如图，分别用基底 i，j表示向量 a 、b、c、d，并求出

它们的坐标。

解：如图可知

aAA1AA22i3ja(2,3)同理

b2i3j(2,3);c2i3j(2,3);d2i3j(2,3).

针对训练：

已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

[解]

由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．

设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得

31x1＝cos 30°＝2，y1＝sin 30°＝2，

31∴B，. 2213x2＝cos 120°＝－2，y2＝sin 120°＝2，

13∴D－，. 223113∴AB＝，，AD＝－，. 2222[解题通法]

求点和向量坐标的常用方法

(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

四、课堂小结

向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.

五、作业

优佳学案 《课时达标检测》 1、2、3