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第三节三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π，1，3π，－1，正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，(π，0)，22(2π，0)．

π，0，3π，0，余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，22(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)．

函数

图象

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

xx∈R，且x

定义域

R R

π≠kπ＋，k∈Z

2R π

值域

周期性

奇偶性

[－1,1]

2π

奇函数

[－1,1]

2π

偶函数

奇函数

2kπ－π，2kπ＋

2单调性

π

2kπ

2为增；[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减

kπ－π，kπ2

π＋

2π3π＋，2kπ＋为减

22(kπ，0)

πx＝kπ＋

2为增

对称

中心

对称轴

[小题体验]

kπ＋π，0

2x＝kπ

kπ，0

2

x1．函数y＝2－cos (x∈R)的最小正周期为________．

3答案：6π

πx＋＋2的定义域为________________．

2．(教材习题改编)函数y＝－tan6πx≠kπ＋，k∈Z

答案：x3

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．

2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．

3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．

[小题纠偏]

1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是(

) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

ππππ－，上是增函数，在－π，－和，π上是减函数

B．在2222C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

ππππ，π和－π，－上是增函数，在－，上是减函数

D．在2222答案：D

ππ2x－在区间0，上的最小值为________．

2．函数f(x)＝sin42ππ3ππ0，，得2x－∈－，，

解析：由已知x∈2444π22x－π在区间0，π上的最小值为－2．2x－∈－，1，所以sin故函数f(x)＝sin

42442答案：－2

2

考点一

三角函数的定义域基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(易错题)函数y＝1的定义域为__________________．

tan x－1解析：要使函数有意义，

tan x－1≠0，必须有π

x≠2＋kπ，k∈Z，

x≠4＋kπ，k∈Z，即πx≠2＋kπ，k∈Z.π

ππx≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z．

故函数的定义域为x42

ππx≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z

答案：x24

2．函数y＝lg(sin 2x)＋9－x2的定义域为______________．

kπ0，解析：由得29－x≥0，

π－3≤x≤3.

ππππ－3，－∪0，．∴－3≤x<－或0

22ππ－3，－∪0，

答案：22[谨记通法]

(1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．

(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．

考点二

三角函数的值域或最值重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

πxπ1．函数y＝2sin6－3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(

) A．2－3

C．－1

B．0 D．－1－3 πππ7π解析：选A

∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，

3636ππ3x－∈－，1．

∴sin632∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3．

2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________________．

解析：设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

1－t2即sin xcos x＝，且－1≤t≤2．

2t211∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1．

222当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1．

∴函数的值域为[－1,1]．

答案：[－1,1]

[由题悟法]

三角函数最值或值域的3种求法

(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．

(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数．

[即时应用]

π|x|≤的最大值与最小值．

求函数y＝cos2x＋sin x4π22解：令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈－，．

42215t－2＋，

∴y＝－t2＋t＋1＝－241－2152∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝．

24221－2π5|x|≤的最大值为，最小值为∴函数y＝cos2x＋sin x．

442考点三

三角函数的性质题点多变型考点——多角探明

三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．

常见的命题角度有：

(1)三角函数的周期性；

(2)三角函数的对称性；

(3)三角函数的单调性．

[锁定考向]

[题点全练]

角度一：三角函数的周期性

1．(2016·山东高考)函数f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)的最小正周期是(

) πA．

23πC．

2B．π

D．2π

解析：选B

∵f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x) ＝3sin xcos x＋3cos2x－3sin2x－sin xcos x

＝sin 2x＋3cos 2x

π2x＋，

＝2sin3∴T＝

角度二：三角函数的对称性

πωx＋(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象(

) 2．已知函数f(x)＝sin4πA．关于直线x＝对称

4πC．关于点4，0对称

πB．关于直线x＝对称

8πD．关于点8，0对称

2π＝π．故选B．

2πωx＋的最小正周期为π，

解析：选B

∵f(x)＝sin4∴2π＝π，ω＝2，

ωπππ3π2x＋．当x＝时，2x＋＝，

∴f(x)＝sin4444πππ∴A、C错误；当x＝时，2x＋＝，

842∴B正确，D错误．

11πx＋θ－3 cosx＋θ|θ|<的图象关于原点对称，3．若函数f(x)＝sin则角θ＝(

) 222πA．－

6πC．－

3πB．

6πD．

31πθ－πx＋θ－，解析：选D

∵f(x)＝2sin且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin323πππππθ－＝0，∴θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)．又|θ|<，∴θ＝．

＝0，即sin33323

角度三：三角函数的单调性

πx＋，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．

4．已知f(x)＝2sin4πππ解析：由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

2423ππ得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．

44π0，．

又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为4π0，

答案：4πππ0，上单调递增，在区间，上单调递减，则5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间332ω＝________．

解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，

ππ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；

22ωπ3ππ3π当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．

222ω2ωπ0，上单调递增，

由f(x)＝sin ωx(ω>0)在3ππππ3，上单调递减知，＝，∴ω＝．

在322ω323答案：

2[通法在握]

1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0．

(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．