2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计及教案分析

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（第一课时）

2.3.1 平面向量基本定理

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

汨罗市第二中学 王曙光

教学目标：

1.理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来

表示，在具体问题中能够适当选取基底.

2.了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向

量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义. 3.领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维. 教学重点：平面向量基本定理和向量的坐标表示

教学难点：平面向量的合成与分解

教学课时：一课时

A. 问题提出

1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

2.怎样理解向量的数乘运算λa？

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.

3.平面向量共线定理是什么？

非零向量a与向量b共线Û存在唯一实数λ，使b＝λa. F1

4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，

木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？

F2

G 三者有何相互关系？

5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. B. 知识探究

探究（一）：平面向量基本定理

思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

B

C

2e2

e2

B

O

e1

C e1

D

3e1

A

P N 思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC 上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，

A 使四边形OMPN为平行四边形？

O M uuuruuuruuur思考3：在下列两图中，向量OA,OB,OC不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、uuuruuuruuurN，使OM+ON=OC？

N B C N B C O A M A O M

uuuruuuruuuruuuruuur思考4：在上图中，设OA=e1，OB=e2，OC=a，则向量OM,ON分别与e1，e2的关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如何？

OM=λ1e1，ON=λ2e2，

a＝λ1e1＋λ2e2. 思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？

思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？

思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？

探究（二）：平面向量的正交分解及坐标表示

uuuruuuruuuruuur思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量B 的夹角的取值范围应如何约定为宜？

b

b

[0°，180°]

a

A O

a

思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基B P 底，向量a如何表示？

a

a＝23i＋2j

j

O iA

思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同

的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向

y 量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、

y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量

j

a的坐标，记作a＝(x，y). O 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

上式叫做向量的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？

y a

i

A a

x uuur思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量OA=a，则

j

O i

x

uuurOA=(x，y)，此时点A是坐标是什么？

C. 理论迁移

例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.

e1

e2

A

例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.

－4

C B 3e2

－2.5e1

y 5 b 2 －2 c O －2 2 d a O 4 x －5 uuuruuur例3 如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，E、M分别是AD、DC的中点，uuuuruuur点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量AM和EF.

uuuur1uuur1

AM=a＋b

；

EF= a－b . 26B F C M

D. 小结作业

A D E 1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.

2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°. 3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.

作业：P102习题2.3B组：3，4.