2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学实录

2.3.2 平面向量的正交分解和坐标表示

教学目的：

（1）知道向量的正交分解

（2）理解平面向量的坐标的概念

教学重点：平面向量的坐标表示

教学难点：向量的坐标表示的理解. 教学过程：

一、回顾旧知：回忆平面向量的基本定理

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底e1，e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、探究新知：实例引入，理解概念

探究一：如图，i,j为互相垂直的单位向量,结合平面向量基本定理，请用i,j表示图中的向量a,b。

解:a=3i+3j,b=-i+2j

把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分解，选取互相垂直的向量作为基底会为我们研究问题带来方便。如上题，a正交分解为了3i和3j，b正交分解为了-i和2j。在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj

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我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y)。

定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底i,j方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在i、j方向的分解形式.例如上题中的a=3i+3j=(3,3)，b=-i+2j=(-1,2)。

探究二：结合以上所知，思考探究（1）i,j,0的坐标是什么。（2）若b=a，那么b的坐标是什么，向量平移后坐标是否发生变化。（3）OA的坐标与其终点坐标有何关系。

解：（1）i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0). （2）b=(x,y)，向量平移坐标不会发生变化，即相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.（3）向量OA的起点是原点，OA的坐标就是向量终点A的坐标。即起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标. 探究三：通过前面的学习，我们知道，起点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不在原点的向量，又该如何来确定其坐标？如图所示，若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？

(1)求出向量AB的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？

解：AB=(4-2,5-2)=

（2,3）(2)A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，那么AB的坐标该如何表示？

解：AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 三、巩固应用，加深理解. 1.(1)已知A(2，3),B(-3,5)，求BA的坐标。

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(2)已知AB=(1，-2),A(2,1)，求B的坐标。

(3)已知AB=(1，-2),B(2,1)，求A的坐标。2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、

（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标. 3.已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点. 四、课堂小结. 1.平面向量的坐标的概念；

2.几个重要结论：

(1)相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等向量；

(2)起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标. （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

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