小结优秀教学设计

平面向量二轮复习讲义（一）

一、平面向量基础

1、模长

方法一：利用|a|a2求解；方法二：利用ax2y2求解. 【例1】设向量a，b满足|a|1,|ab|3,a(ab)0，求|2ab|

【反馈检测1】已知向量a,b满足|a|2,|b|1,|ab|2.（1）求ab的值；（2）求|ab|的值.

【反馈检测2】已知直角梯形ABCD,AD//BC,ADC900,AD2,BC1,P是腰DC上的动点，则PA3PB的最小值为____________.

【反馈检测3】已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP|1，

PMMC，则|BM|2的最大值是（ ）

A.434 B.494 C.3763372334 D.4

2、夹角

方法一：cosa,babab

方法二：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，为向量a与b的夹角，则cosx1x2y1y2x2y2x2y2

1122【例2】已知xab,y2ab,且|a||b|1,ab.

（1）求|x|和|y|；（2）求x,y夹角的余弦值.

【反馈检测4】已知|a|1,|b|3,ab(3,1），（1）试求|ab|；（2）ab与ab的夹角.

3、位置关系：相等、相反、共线（平行）、垂直

方法一：利用两个向量平行或垂直的充要条件（没有坐标背景）直接证明ba(a0)或ab0

方法二：利用两个向量平行或垂直的充要条件（坐标背景）直接证明x1y2x2y10或x1x2y1y20. 【例3】设a、b是两个不共线的非零向量（tR）

（1）记OAa,OBtb,OC13(ab),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？

（2）若|a||b|1且a与b夹角为120，那么实数x为何值时|axb|的值最小？

【例4】已知PQ过三角形OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OPmOA,OQmOB,m、nR,则1n1m的值为 .

【反馈检测5】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、AD上的点，且

AM34AB,AN23AD,连接AC、MN交于点P点，若APAC，则的值为（ ）

A.663317B.13C.7D.5

【反馈检测6】已知向量OA(3,4),OB(6,3),OC(5m,(3m)).

(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；

(2)若ABC为直角三角形，求实数m的值．

4、数量积计算

方法一：坐标法：坐标公式abx1x2y1y2求解

方法二：定义法：公式a·b=|a||b|cos求解

方法三：基底法：选定平面向量的基底a,b，再用基底表示出未知的向量，再利用数量积公式解答. 【例5】

在ABC中，ABACABAC，AB2,AC1，E、F为BC的三等分点，则AEAF＝

【例6】 等边ABC的边长为1，记BCa,CAb,ABc，则abbcca等于 ．

【反馈检测7】ABC的外接圆半径为1，圆心点为O，ABAC2OA0，则CACB（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【例9】 若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足CM16CB23CA，则

MAMB_____________.

【反馈检测8】 已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB→＋AC→＝2AO→，且|OA→|＝|AC→|，则向量BA→在向量BC→方向上的投影为________．

【反馈检测9】如图，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1，1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tan α＝7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n＝________．