2.3.1 变量之间的相关关系特级教师教学实录

§2.3.1 变量间的相关关系

一、学习目标

明确事物间的相互关系，认识现实生活中的变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。

二、教学过程

自主探究

1.相关关系与函数关系不同，相关关系是一种______性关系．

2.从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为______，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为______．

3.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有______，这条直线叫______．

4.下列描述正确的是（

）

Ａ．相关关系就是函数关系

Ｂ．相关关系和函数关系都是两个随机变量之间的关系

Ｃ．相关关系一定是因果关系

Ｄ．相关关系是一种非确定性的关系

5.下列两变量中具有相关关系的是（

）

Ａ．正方形的体积与边长

Ｂ．人的身高与体重

Ｃ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间

Ｄ．球的半径与体积

剖例探法

★讲解点

相关关系的判断

1.相关关系与函数关系的异同点：

⑴相同点：两者均是指两个变量的关系．

⑵不同点：

①函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是随机变量与随机变量的关系．

②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大．

2.相关关系的分析方向：

由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥非常重要的作用，我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统

计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．

例题１5个学生的数学和物理成绩如下表：

学

A B C D E

学

生

科

数学

80 75 70 65 60

物理

70 66 68 64 62

画出散点图，并判断它们是否有相关关系．

【思维切入】涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．

【解析】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示：

由散点图可见，两者之间有相关关系．

【规律技巧总结】判断变量之间有无相关关系，常用的简便可行的方法就是绘散点图．

例题2

下表是某地年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？

求回归直线方程有意义吗？

年平均气温12.51 12.84 12.84 13.69 （℃）

年降雨量748 542 507 813 （㎜）

年平均气温13.33 12.74 13.05

（℃）

年降雨量574 701 432

（㎜）

【思维切入】总体的平均数与标准差往往是很难求，甚至不可求的，通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，只要样本的代表性好，这种做法是合理的．

【解析】以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量可得相应的散点图如图：

1

因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，如果用公式求得回归直线也是没有意义的．

【规律技巧总结】用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为：

⑴作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；

⑵如果散点在一条直线附近，用公式求出a,b并写出线性回归方程．

精彩反思

在研究两个变量之间是否存在某种关系时，常常从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断：

①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．

②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．

③如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

④如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，则这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的．

【自我测评】

1.有关线性回归的说法，不正确的是（

）

Ａ．相关关系的两个变量不是因果关系

Ｂ．散点图能直观地反映数据的相关程度

Ｃ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系

Ｄ．任一组数据不一定都有回归方程

2.哪些变量是相关关系（

）

Ａ．出租车费与行驶的里程

Ｂ．房屋面积与房屋价格

Ｃ．身高与体重

Ｄ．铁的大小与质量

3.设某地10户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元）的统计资料如下表：

年收入x

2 4 4 6 6 年饮食支出

0.9 1.4 1.6 2 2.1 年收入x

6 7 7 8 10 年饮食支出

1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

⑴将上表数据制成散点图；

⑵从图中判断年饮食支出与年收入成什么关系．

【拓展迁移】

思维提升

4.对变量x,y有观测数据xi,yi（i1,2,,10），得散点图；对变量u,v有观测数据ui,vi（i1,2,,10），由这两个散点图可以判断（ ）

Ａ．变量x与y正相关，u与v正相关

Ｂ．变量x与y正相关，u与v负相关

Ｃ．变量x与y负相关，u与v正相关

Ｄ．变量x与y负相关，u与v负相关

5.从某市居民2006-2010年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：

年份

2006 2007 2008 2009 2010 收入x

11.5 12.1 13 13.3 15 支出y

6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是____，家庭年平均收入与年平均支出有____线性相关关系．

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