复习参考题教案和课堂实录

三元整合教学模式数学导学稿

编号

gsfxds005

①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②能利用单位圆中的三角函数线推导出一、

二、

课题：三角函数的图像与性质

学习目标：

2，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出

y = sin x，y = cos x，y = tan x的图像，了解三角函数的周期性。

③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质（如单调性、最大值和最小值以及图像与x轴交点等），理解正切函数在区间(，)内的单调性。

2222④理解同角三角函数的基本关系式：sinxcosx1，sinxtanx

cosx⑤了解函数

y = Asin(ωx +φ)的物理意义；能画出y = Asin(ωx +φ)的图像，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

近五年全国卷考题三角函数（不含解三角形）部分的分析

年份

题号

分值

考查内容

2011（I卷）

理（5）、(11)、(12)、

（理）15 （理）三角函数的定义，三角函数的性质，综合题涉及三角函数的图像；

2012（I卷）

2013（I卷）

2013（II卷）

2014（I卷）

理（9）

理（15）

理（15）、

理（

6 ）、(8)

（理）5 （理）5 （理）5 （理）三角函数性质（单调性）；

（理）三角函数合一变形最值问题；

（理）同角关系、两角和公式；

（理）10 （理）函数应用题与三角综合（图像），三角恒等变换与诱导公式结合；

2014（II卷）

2015（I卷）

2016（II卷）

理(14) 理（2）、（8）

理(12) （理）5 （理）10 5 （理）三角恒等变换化简、合一后求最值；

（理）两角和公式、三角函数图像与性质（单调性）；

三角函数图像与性质

三、学习过程

（一）复习回顾：

21．若函数f(x)sinx1(xR)，则f(x)是（

）

2

B．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

1 π的奇函数

2C．最小正周期为2π的偶函数

A．最小正周期为

2．函数f(x)sinx2cosx的最大值为（

）

A．1

B．

5

C．3

D．2

3.在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）

①在(0，)上递增 ②以2π为周期 ③是奇函数

21A.y=tanx B.y=cosx C. y=tanx D.y=-tanx 2

4.(cos12sin12)(cos12sin12)（ ）

A． 3

2 B．113

C．

D．

2225.sin70cos370sin830sin370________;

6．已知2x0,sinxcosx1，则sinxcosx______,sinxcosx______

5

（二）典例分析

例1．已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)，则下列说法正确的是（ ）

A．f(x)的最小正周期为2

B．f(x)的图象关于点(C．f(x)的图象关于直线xD．f(x)的图象向左平移

例2．函数ysin(x),（0,08,0)对称

8对称

个单位长度后得到一个偶函数图象

42

在一个周期内的图象如图所示，A(）6,0)，B在y轴上，C为图象上的最低点，CD在x轴上的投影为E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，则,的值为（ ）

（A）2,

（C）

例3．当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则，123 （B）2,6 BAOy11, （D）,

2326ECDx2

函数是（ ）

对称 B．偶函数且图象关于点（π，0）对称

对称 D．偶函数且图象关于点对称

A．奇函数且图象关于点C．奇函数且图象关于直线

例4．将函数y3cosxsinxxR的图像向左平移mm0个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是

A、 B、

例5．函数ysin2x612 C、 D、35

66的图像与函数ycosx的图像（

）

3A．有相同的对称轴但无相同的对称中心

B．有相同的对称中心但无相同的对称轴

C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心

D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴

例6．已知函数fxAsinxA0,0的图象与直线yb0bA的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则fx的单调递增区间是（

）

A．6k,6k3,kZ

B．6k,6k3,kZ

C．6k3,6k,kZ

D．无法确定

例7．已知函数f(x)sin2x3sinxcosx2cos2x,xR.

（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（2）用五点作图法作出函数f(x)在一个周期内的图象；

（3）函数f(x)的图象可以由函数ysin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？

3

总结归纳：

1、三角函数性质主要包括周期性、单调性、奇偶性、对称轴和最值；

2、在研究上述各性质时，若题目中出现sinx（或cosx）或两者都出现以及sinxcosx的形式时，一定要先用降幂公式和二倍角正弦公式化成f(x)asinxbcosxc的形式，然后再用合一变形公式化为y=Asin(x)b(A0,0)的形式，即化所求函数式为y=Asin(x)(A0,0)是研究三角函数性质时的主要变形方向；

3、解题时常用整体法ux并结合ysinu,ycosu的图象和性质进行求解；

4、y=sinx图像与y=Asin(x)(A0,0)图像以及ysinx与y=Asin(x)(A0,0)图像的平移问题值得高度重视和准确把握。

（三）巩固练习：

1.已知函数y＝tanx在(-22,)内是单调减函数,则的取值范围是( )

22A.0<≤1 B.-1≤<0 C. ≥1 D. ≤-1 2．函数yAsin(x)(0,示，则函数表达式为（

）

2,xR)的部分图象如图所x)

（B）y4sin(x)

8484（C）y4sin(x)

（D）y4sin(x)

8484（A）y4sin(π3．[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin2x＋的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的4最小正值是________．

4.已知函数f（x）=3sin(x)cos(x)（0<<π，>0）在(x∈R) 为偶函数，且函数y= f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求f（。

2）的值。

8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，6（2）将函数y= f（x）的图象向右平移纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间。

4

三元整合教学模式数学导学稿

编号

gsfxds006 主编人：高三理科数学备课组

姓名

一、课题：解三角形

二、学习目标：

1、利用正弦定理、余弦定理及三角形的内角和定理求三角形的边和角； 2、利用正弦定理、余弦定理结合三角变换公式和诱导公式进行三角求值；

3、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、平面向量的综合应用；

三、学习过程

（一）复习回顾：

1

在ABC中，AB3,A450,B750,则BC =（

）

（

）

A.33

B.2

C.2

D.33

2、在△ABC中，已知abcbc，则角A是（ ）

A 3、在△ABC中，22222 B C D 或

33363abc，则△ABC是（ ）

cosAcosBcosCA 直角三角形 B 等边三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形

4、在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC＝3:2:4，则cosC＝

（二）典例分析：

例1．ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bccosC2a.．

（1）求角B的大小；

（2）若cosA

5

1c，求的值．

7a

例2．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3cos(BC)16cosBcosC．

（1）求cosA的值；

（2）若a3，ABC的面积为22，求b,c边长．

例3．在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,C60,3sinAsinB．

（1）若ABC的面积为33，求b的值；

（2）求cosB的值．

6

例4.在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a,b,c，且a2b2abc2．

（Ⅰ）求tanCπ的值；

4（Ⅱ）若c3，求SABC的最大值．

例5．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=，点M在线段BC上．

（1）若AM=1，求BM的长；

（2）若点N在线段MC上，且∠MAN=30°，问：当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？并求出面积的最小值．

7

例6．如图，平面四边形ABCD中，AB5，AD22，CD3，CBD30，BCD120，求

D

（Ⅰ）ADB；

（Ⅱ）ADC的面积S．

C

BA

例8．已知海岛B在海岛A北偏东45，A，B相距20海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15方向以4海里/小时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；

（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

（二）典例分析：

8

7．ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bccosC2a.．

（1）求角B的大小；

1c，求的值．

7a5【答案】（1）B；（2）．

38【解】（1）2bcosCc2a，由正弦定理，得2sinBcosCsinC2sinA，

∵ABC，∴sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，

2sinBcosCsinC2(sinBcosCcosBsinC)，sinC2cosBsinC，

（2）若cosA∵0C，∴sinC0，∴cos∵0B，∴BB1，

23；

（2）在ABC中，B∴sinA3，cosA1，

74353，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，

714csinACB5

．

asinBAC8考点：1．正弦定理解三角形；2．三角恒等变形．

8．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3cos(BC)16cosBcosC．

（1）求cosA的值；

（2）若a3，ABC的面积为22，求b,c边长．

b2b31【答案】（1）cosA的值为；（2）b,c边长的值为或．

3c2c3【解】（1）由3cos(BC)16cosBcosC，

得3(cosBcosCsinBsinC)1，

1即cos(BC)，

31cosAcos(BC)．

3122（2）∵0A，cosA，∴sinA，

331由SABC22，得bcsinA22，即bc6．

2222由余弦定理，得abc2bccosA，

22∴9(bc)2bc(1cosA)(bc)16，

∴bc5．

bc5b2b3由，得或．

c3c2bc6考点：1、三角恒等变换；2余弦定理、；3、正弦定理的应用．

9

9．在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,C60,3sinAsinB．

（1）若ABC的面积为33，求b的值；

（2）求cosB的值．

7．

14【解】（1）∵3sinAsinB，

∴由正弦定理得，3ab，

133∴SabsinCa233，∴a2,b6．

22212222（2）由余弦定理得ca3a2a3a7a，∴c7a，

2a2c2b2a27a29a27∴cosB．

22ac1427a【答案】（1）6；（2）考点：利用正、余弦定理解三角形.

10．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a,b,c，且a2b2abc2．

（Ⅰ）求tanCπ的值；

4（Ⅱ）若c3，求SABC的最大值．

33．

4222222【解】（Ⅰ）∵ababc，abcab，

a2b2c21， ∴cosC2ab2π∵C为△ABC内角， ∴C，

3π31ππ则tanCtan23；

4341322（Ⅱ）由ab3ab2ab，得ab3，

13∵SABCabsinCab，

243333∴SABC，当且仅当ab3时“”成立，

则S△ABC的最大值是．

44【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）考点：正弦定理与余弦定理的应用.

11．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=

，点M在线段BC上．

10

（1）若AM=1，求BM的长；

（2）若点N在线段MC上，且∠MAN=30°，问：当∠BAM取何值时，△AMN的面积最小？并求出面积的最小值．

【答案】（1）BM=1或BM=2；（2）．

【解】（1）在△ABM中，B=30°，AB=，AM=1，

222根据余弦定理得，AM=BM+AB﹣2×BM•AB•cosB，

2整理得，BM﹣3BM+2=0，

解得BM=1或BM=2，；

（2）设∠BAM=θ，在△ABM，△ACN中分别用正弦定理得，

AM=，AN=，

而S△AMN=•|AM|•|AN|•sin30°

==••=，

=•

显然，当θ=时，即∠BAM=，

=．

（S△AMN）min=•|AM|•|AN|•sin30°=考点：三角形中的几何计算；解三角形．

12．如图，平面四边形ABCD中，AB5，AD22，CD求

3，CBD30，BCD120，D

C

A

（Ⅰ）ADB；

（Ⅱ）ADC的面积S．

B

【答案】（1）ADB45；（2）33．

211 【解】（Ⅰ）在BCD中，由正弦定理得：

CD33sinBCD3，

1sinCBD22在ABD中，由余弦定理得：

AD2BD2AB2(22)232(5)22

cosADB2ADBD22223所以ADB45

（Ⅱ）因为CBD30，BCD120，所以CDB30

62因为sinADCsin(4530)

4162331所以SADCDsinADC223

2422BD考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．

13．已知海岛B在海岛A北偏东45，A，B相距20海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15方向以4海里/小时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；

（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

【答案】（1）20103小时；（2）【解】

2021海里．

7

（1）设经过t(0t5)小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛A的距离为AE102t海里，物体乙与海岛A距离为AF4t海里，EAF60,AFE75,AEF45，

AEAF202t4tAEF中，由正弦定理得：，即，

sinAFEsinAEFsin75sin45则t20103．

12

（2）由（1）题设，AE202t，AF4t，

由余弦定理得：

EF2AE2AF22AEAFcosEAF(202t)2(4t)22(202t)4t28t2160t400,∵0t5，

202021∴当t时，EFmin海里．

77考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值．

12

13