2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示ppt配套的教案及板书设计

2.3.1 平面向量基本定理

（一）学习目标

11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 14.了解平面向量的基本定理及其意义. 22.通过探究

学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力. 23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神. （二）重点难点

1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用

2.难点是平面向量的基本定理及其意义. （三）教学过程

教学内容

师生互动

让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法

师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法

这里给出了课本97页的两个概念，学生知道这些名词就可以了

向量的直角坐标表示及其运算性设计意图

从一维向二维,从已知到未知，引入新课题

前面

对轴上向量

通过单位向量

可以建立与实复数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.***面上的任一方向的向量，都可以用相应引的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相入

垂直的轴

数量化表示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗? 借助已经学过的平面直角坐标系. (1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e1、3e2

(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2）

(3)取平面上两条互相垂直的单位向量e1、e2，那新么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实课数x、y，使a=xe1+ye2。

探例如

课本103页练习A第一题

究

证明

课本96页，97页

(4)这里｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式；（x,y）叫做a关于基底｛e1，e2｝下的坐标，即a＝（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然

0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1) (5)平面直角坐标系中

有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量

感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性. 1

(x,y),叙述中应在前面注明。

质，学生应该容易(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向接受，甚至给出证量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向明。一些学生可能量相应坐标的乘积。即：

不理解证明的必如果

a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么

要性和合法性（不a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1) 易深究）。

a∥b的充要条件是x1y2=x2y1(需要证明)

(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e1、一般学生以了解e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量为主，重在以具体表示。即a=xe1+ye2.这里x、y是唯一确定的一对问题为载体，落实有序实数。｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的基本定理的思想一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分方法（消点法）。

解式.

例如

课本96页图2－34，证明同(3)。

例11.课本100页例1。

在直角坐标系xOy中，

向量a，b，c的方向

和长度如图所示。

分别求它们的坐标。

y304530x例12. 课本102页例5，含101页例2、4 已知

▱ABCD的三个顶点

A(－2,1),B(0,3),C(3,4)， 求(1)向量BA的坐标、方向和长度；

(2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。

深

化

理总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减解

去向量起点的坐标。即

AB＝AO+OB＝OB－OA＝(x1－x2,y1－y2) 例13．课本102页例6，含101页例3 已知A(－2,1),B(4,4)，求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标。

注：OM＝OA＋AM＝OA＋0.5AB＝0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。

注：例题到此，应进行学生独立练习巩固

所有例题，

以教师为主导，

关注优秀生

是否能

从想得通

到写得通

再到讲得通

适当的给他们机会锻炼展示；

关注一般同学

是否能

从想不通

到想得通

再到写得通

给他们充分时间来思考学习

教师协调

全班讨论

复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备

可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解

这里，初中学生已经接触过中点坐标公式。学生基础好，可以另用向量的方法给出证明

2

例21．课本104页例1 已知

向量AB=(2,5),向量a=(1,y), 若

向量AB∥a.求a的纵坐标y.

例22．课本104页例2 直角坐标系xOy内，已知

A(－2,－3),B(0,1),C(2,5)。

求证

A,B,C三点共线

例31．课本97页例1 已知

▱ABCD的两条对角线相交于点M，试用基底｛AB,AD｝表示向量MA,MB,MC,MD.

例32．课本97页例2 已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O。以｛OA，OB}为基底，写出向量OP的分解式

练习1：课本103页练习A2,4,5;B1,2,3,4 课练习2：课本105页练习A1,2,3；B1,2 堂练习3：课本98页练习A1,3,5;B1,3,4 练习

今天学会了：

①向量的坐标表示

②坐标表示的向量的加减及数乘运算

③向量平行的坐标条件

④平面向量的基本定理

对于部分习题

师生可以在充分独立思考的基础上，进行小组讨论. 熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势

这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体情况而定

对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不同的发展

这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈时间

归纳小结

师生共同完成

作业1：课本105页习题2－2A2,3,4,5,6. 作作业2：课本106页习题2－2B2,3. 业

127页9，11，19

课后反馈

学生自主完成

温习巩固，

逐步理解

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