小结教案设计

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教材分析:前面我们学***面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.整节课以学生为本,老师只量个引导者,引导学生小组探究讲解与分析.

【学习目标】

1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；

2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：复习：1.向量a与b的数量积ab=. 2.设a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，则

①abab；②a；③cos. （二）导入新课

在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学***面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.

自主探究：（预习教材P106—P108）（10分钟,学生小组完成,老师课件演示）

探究：平面向量数量积的坐标表示

问题1：已知两个非零向量ax1,y1,bx2,y2，怎样用a与b的坐标表示ab呢？

1. 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a=x1y1,b=x2y2,ab=

（坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于

。

问题2：如何求向量ax,y的模a和两点Ax1,y1，Bx2,y2间的距离？

2.平面内两点间的距离公式

（１）设a=(x,y),则a=________________或a________________。

（２）若Ax1,y1，Bx2,y2，则AB=___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求ax1,y1,bx2,y2的夹角和判断两个向量垂直？

3．两向量夹角的余弦：设是a与b的夹角，则cos＝_________＝_______________

向量垂直的判定：设a=x1,y1,b=x2,y2,则ab_________________ 二、合作探究（15钟,学生小组完成,演示小组成果,老师总结分析）

2

例1:1已知a(3,1),b(1,2),求ab，a与b的夹角.

2,3,b2,4,则abab.

3的夹角为,则k=____ 变式：已知a=(3,0),b=(k,5)且a与b4引导学生用刚学和公式灵活应用,小组讨论.

2

已知a

例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形

教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.

例3:已知

a=(4,3) ,求

a垂直的单位向量

b

在例2基础上训练.

三、交流展示（14钟,学生讨论完成,小组长上讲解过程,其它小组提问题,老师分析总结）

1:已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，向量ka－b与

a+3

b(1)平行，它们是同向还是反向？；(2)垂直

2.已知向量a2x3,2x,b3x,2xxR则|a+b|的取值范围为_______3已知a,-2,b3,5,且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是____

点评: :本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.能灵活应用求参数,参透函数的思想.

（四）课堂小结

1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,

向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示. 2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.

（五）作业