2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

2.3

平面向量的基本定理及其坐标表示

2.3.1

平面向量基本定理

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

整体设计

教学分析

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.

于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 三维目标

1.理解平面向量坐标的概念，能写出已知向量的坐标．

2.熟练利用平面向量的坐标进行向量加、减、数乘运算．

3.熟记平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标判断两个向量是否共线. 重点难点

教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面

向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?

推进新课

新知探究

提出问题

图1 ①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢? ②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.

活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA=e1,OB=e2,OC=a.过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM=λ1e1,ON=λ2e2.由于OCOMON,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.

由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 讨论结果:①可以. ②a=λ1e1+λ2e2. 提出问题

①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:

图2

已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.

显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.

如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样. ②可以. 提出问题

①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? ②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

图3 活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得

a=xｉ+yj

①

这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作

a=(x,y)

②

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,A1B1是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:

讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).

平面向量的坐标运算

向量的

加、减法

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向实数与

向量的积

量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

向量的

坐标

两个向量共线的坐标表示：

→→已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即向量终点坐标减去向量起点坐标

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. 题型一

平面向量的坐标表示及运算

[典例1]

(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x→轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．

(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．

求向量坐标的三个步骤

向量坐标运算的注意事项

(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．

(2)若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

对应练习

→→1．(1)已知O为坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，则向量OA的坐标为________．

(2)已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，

11求：①2a＋3b；②a－3b；③a－b. 23

题型二向量共线的坐标表示

[典例2]

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

已知两个向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置，一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示．这类题目需根据题目特点恰当地选择向量共线的坐标表示形式，建立方程(组)求解．

．

对应练习

1、已知平面向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，

若(a＋kc)∥(b－2a)，求实数k的值．

题型三向量共线的应用

→1→→1→[典例3]

在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC42交于点M，求点M的坐标．

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

(1)表示：首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化．

(2)列式：结合题目所给的条件，利用平面向量关系的坐标公式列出有关变量的方程(组)．

(3)求解：通过解方程(组)求出有关变量．

(4)转化：转化到原来的几何问题中．

对应练习

3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．

能力提升

利用向量共线的坐标表示求点的坐标

→→[典例]

(本小题满分12分)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的→→→中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，求BC的坐标．

课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图. 课堂练习

→1．已知AB＝(1,3)且点B(－1,8)，则点A的坐标为(

) A．(0，－11)

C．(2，－5)

2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝(

) A．(5,7)

C．(3,7)

B．(5,9) D．(3,9) B．(－2,5) D．(0,5) 3．向量a＝(n,1)，b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝(

) 1A.

2C．2

作业

设计感想

1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示. 2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题. 3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.

1B．±

2D．±2