探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期第二课时教学实录

1.5 函数yAsin(x)的图像

海河中学

沙晗

【教学目标】

1.知识与能力：

通过对三角函数前面知识的复习和对yAsin(x)的图像的探究，让学生理解A,,对函数图像的影响，进一步了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律，培养学生观察问题和探索问题的能力。

2.过程与方法：让学生分别用计算机探究A,,对图像的影响，进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系，以及图像变换与函数解析式变换的内在关系。

3. 情感态度与价值观：通过对函数(A>0，>0)图象的探讨，理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。在学生亲自动手用计算机探究的过程中，让学生体味成功，增强自信，从而逐步热爱数学学习。同时培养学生勇于探索、大胆质疑的精神。

【教学重点和难点】

重点：用参数思想讨论函数y = Asin(wx+)的图像的变换过程。

难点：图像变换与函数解析式变换的内在联系的认识。 【教学方式】

学生用计算机自主探究，师生合作交流。

【教学用具】

计算机、电子白板

【教学过程】

教学基本流程

复习五点法作函数图像

探究一：对ysin(x)的图像的影响

探究二：(0)

对ysin(x)的图像的影响

探究三：A(A>0)对yAsin(x)的图像的影响

探究四：yAsin(x)与ysinx的图像关系

课堂小节升华

一、

激趣入境：

要想研究yAsin(x)的性质以及下一小节对它的应用，首先我们要了解yAsin(x)的图像。回忆前面我们学习过的画三角函数图像的方法是什么？（五点法）

提问：我们还有没有其他的方法得到yAsin(x)的图像？

我们观察函数ysinx和函数yAsin(x)的解析式我们会发现：ysinx就是函数yAsin(x)在A1,1,0时的情况。那能不能通过“图像变换的方法”由ysinx的图像得到yAsin(x)的图像呢？

二、

导引体验：

可以看出A,,是影响函数图象的重要参数，对此，我们分别进行探究。

探究一：对ysin(x)的图像的影响

请同学们用计算机，作出函数ysin(x)，xR，ysin(x)，34xR的简图。然后分别将它与ysinx图像比较，观察他们的关系，看看对图像有什么影响？

同学们操作交流，比对图像，猜想结论并验证，请其中一位同学到前面用实物投影仪，展示他的探究结果与同学们交流。

生：发现ysin(x)，xR的图象可看作ysinx，xR的图象向3左平移个单位得到；

ysin(x)，xR的图象可看作ysinx，xR的图象向右平移434个单位得到。

知识迁移：

a0向左平移a个单位

师：我们已经学过f(x)

f(xa)

a0向右平移a个单位

结论：一般地，函数ysin(x)（0），xR的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（0时）或向右（0时）平行移动||个单位而得到。我们称这种变换为平移变换。

探究二：(0)

对ysin(x)的图像的影响

请同学们用计算机，画出函数ysin2x，xR，ysinx，xR的函数简图。然后分别将它与ysinx图像比较，观察他们的关系，看看对图像有什么影响？

生：由计算机演示的图像

可知函数ysin2x的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。

函数ysinx的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

1ysin(x),ysin(2x),ysin(x)

这组函数图像的师：再探究

3

3

2

3121212

关系。

生：可以得到类似上例的结论。

结论：一般地，函数ysin(x)，xR（0,1）的图象可以看作把ysin(x)，xR（0,1）曲线上所有点的横坐标缩短（1时）或伸长（01时）到原来的下）而得到的。我们称之为伸缩变换。

师：想一想为什么会出现这样的结论？这与我们前面学过的什么知识有关？

生：我们学过(0)影响函数的周期，该结论与T

探究三：A(A>0)对yAsin(x)的图像的影响

请同学们用计算机，画出函数y2sinx，xR，ysinx，xR的函数简图。然后分别将它与ysinx图像比较，观察他们的关系，看看A对图像有什么影响？

由图可知，对于同一个x，y2sinx，x[0,2]的图象上的点的纵坐标等于ysinx，x[0,2]的图象上的点的纵坐标的2倍，因此，y2sinx，xR的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变的情况下）而得到的。ysinx，xR的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变）。

结论：一般地，函数yAsinx，xR(A0,A1)的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（A1时）或缩短（A1时）到原来的A倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，yAsinx，xR的值域是[A,A]，最大值为A，最小值为A。我们称之为伸缩变换。

121倍（纵坐标不变的情况2一致。

1212

三、合作分享

探究四：yAsin(x)与ysinx的图像关系

你能设计一个完整的变换过程完成从ysinx到y3sin(2x)的3变换吗？

学生分组互相表达自己的变换过程，然后派代表陈述自己的方法。

A,,对图像的影响

yAsin(x)

1、函数yAsin(x)的图象可以用“五点法”作出图像，也可以由函数ysinx的图象经过变换而得到。

2、研究过正弦曲线，我们知道余弦曲线和它有类似的变换方法。

四、达标训练

1.

请指出以下函数的图像是如何由函数y = sinx的图像而得到的。

⑴y = 5sin(1x+)；⑵y =sin(3x) 2振幅变换周期变换相位变换

612

4五、拓展延伸

课本第55页练习2、3、4，第57页练习1 思考题：由ysin2x的图像如何变换成ycos(2x)

4