阅读与思考 向量及向量符号的由来优秀教案设计

摘要：向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。向量的教学应突出物理背景，注重向量的代数性质及其几何意义，关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。

关键词：数学新课程；向量；教学

向量是高中数学新课程中的重要内容。《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注意的几个问题做一探讨。

一、对向量的认识

向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。这次，《标准》中也设置了向量的内容。高中数学新课程中之所以设置向量的内容，是基于以下几方面的认识。

（一）向量具有丰富的物理背景

矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。这些量贯穿于物理学的许多分支，都是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。

（二）向量是几何的研究对象

物体的位置和形状是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。

（三）向量是代数的研究对象

运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量积（点乘）、向量积（叉乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。

（四）向量是沟通代数、几何的桥梁

向量作为有向线段，可用来确定位置。但要用向量刻画几何图形的性质，解决几何中的长度、角度等度量问题只有有向线段是不够的，必须通过向量的代数运算才能实现。如，利用向量的数乘运算可以刻画平行，利用向量的数量积运算可以刻画垂直、角度、三角函数等。因此，向量集数、形于一身，是数形结合的最好体现，沟通了代数、几何、三角。

（五）向量是重要的数学模型

用V表示向量的集合，则V对于向量的加法运算构成交换群。（V、R）对于V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的乘法（数乘）运算构成线性空间。V中向量的数量积运算可以刻画向量的长度，给V中的向量赋以长度后，（V、R）对于向量的加法、实数与向量的乘法运算构成线性赋范空间。群、线性空间、线性赋范空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。

二、向量的教育价值

（一）有助于学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系

向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量──力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

（二）有助于学生理解数学运算的意义及价值，发展运算能力

向量作为代数对象，可以进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。数运算、多项式运算都是A×A→A型的代数运算，数与多项式的运算属于A×B→B型的代数运算，而向量运算除了前两种类型的运算，还有数量积运算，它属于A×A→B型的代数运算。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过向量的代数运算刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了不同类型的代数运算的特征及其功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其他数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。向量的学习，有助于学生进一步体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，为理解函数、映射、变换运算，矩阵运算等奠定了基础。

（三）有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想

向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合的思想。

（四）有助于增进学生对数学本质的理解

向量是重要的数学模型，它来源于力、位移、速度等现实原型。向量及其运算构成的数学系统又为群、线性空间、线性赋范空间等抽象数学系统提供了原型。向量的运算使得向量的集合具有特定的数学结构。如，引入向量的加法后，向量连同其加法运算一起构成群结构；引入数与向量的乘法后，向量连同加法、数乘运算一起构成线性空间结构；引入向量的

数量积运算后，向量连同加法、数乘、数量积运算一起构成线性赋范空间结构。群、线性空间结构是典型的代数结构。向量的数量积运算，可以赋予向量以长度，从而产生一种拓扑结构。线性赋范空间是代数结构与拓扑结构交叉形成的一种数学结构。正是由于这种数学结构，才使得运用向量的运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题成为可能。因此，向量的学习有助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象性以及数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质。