探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质板书设计

4.2

同角三角函数的基本关系及诱导公式

一．教学目标

1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．

2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．

二．基础知识梳理

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系:

sin2α+cos2α=

. （2）商数关系：

2．诱导公式

公式一：(其中k∈Z) sin(2kπ＋α)＝_______ ，

cos(2kπ＋α)＝_______，

tan(2kπ＋α)＝_______. 公式二：

sin(－α)＝_________，

cos(－α)＝_________，

tan(－α)＝_________ 公式三：

sin(π－α)＝_________，

cos(π－α)＝_________，

tan(π－α)＝_________. 公式四：

sin(π＋α)＝_________，

cos(π＋α)＝_________，

tan(π＋α)＝_________.

公式五：

ππsin(2－α)＝_________，

cos(2－α)＝_________. 公式六：

ππsin(2＋α)＝_________，

cos(2＋α)＝_________. 归纳：(1)2kπ＋α

(k∈Z)，－α，π±α的三角函数等于α的_______

三角函数值，前面加上一个把α看成_______角时原函数值的符号．

π(2)2±α的正弦(余弦)函数值等于α的____________函数值，前面加上一个把α看成______角时原函数值的符号．

记忆方法为：__________________________.

(3)化任意角的三角函数为锐角三角函数．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．

三．双基自测

20π＝(

) 1．cos－31313A.

B.

C．－

D．－

22222．(2016·四川高考)sin 750°＝________. 3.(2013年高考大纲全国卷)已知α是第二象限角,sin α=5,则cos α等于(

13

)

A.125512

B.- C. D.

131313134,则2sincos（

）

34.(2017.新课标改编)已知sincos72212A. B.- C. D.99913

四．典例剖析.考点突破

考点一

诱导公式的应用

3sin(2x)cos(x)2例1.

已知f(x),则f()________. 114cos(3x)sin(x)2

练习1．

cos()sin()2（1）已知角终边上一点p(4,3),则的值为________．

119cos()sin()22

（2）已知sin(3)1,则cos()

________；

26

小结：1.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了

.巧用相关角的关系会简化解题过程．

ππππππ常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等, 363644π2ππ3π常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等

3344

考点二

同角三角函数基本关系式

1例2.已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.求tan α的值．

[变式一] 保持条件不变，

求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；

(2)sin2α＋2sin αcos α的值．

[变式二]

若条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”，

5求tan α的值．

1【变式三]

若题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－，

3求

sin α＋cos α的值．

小结：同角三角函数关系式及变形公式的应用：

(1)

利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，

sin α利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．

cos α

（2）"1"的灵活代换：1sin2cos2(sincos)22sincostan

4

（3）关于sin,cos的齐次式，往往化为关于tan的式子。