本章小结第二课时教学实录

简谐运动章末分层突破

基础知识：

一．简谐运动的图像

简谐运动的图像遵从正弦函数的规律，描述了质点的位移随时间的变化规律．从图像可以直接获得的信息有质点在任意时刻的位移、质点的振幅、周期，此外还可以确定质点的速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：

1．可以确定振动物体在任一时刻的位移．如图所示，对应t1、t2时刻的位移分别是x1＝＋7 cm、x2＝－5 cm. 2．确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振幅是10 cm. 3．确定振动的周期和频率．振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周1期T＝0.2 s，频率f＝T＝5 Hz. 1

4．确定各时刻质点的振动方向．例如图中在t1时刻，质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动．

5．比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小．例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|.

如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(

)

甲

乙

A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左

B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧62 cm处

C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同

D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大

E．t＝0.8 s时振动系统的机械能最小

简谐运动图像问题的处理思路

1．根据简谐运动图像的描绘方法和图像的物理意义，明确纵轴、横轴所代表的物理量及单位．

2．将简谐运动图像跟具体运动过程或振动模型联系起来，根据图像画出实际振动或模型的草图，对比分析．

3．判断简谐运动的回复力、加速度、速度变化的一般思路：根据F＝－kx判断回复力F的变化情况；根据F＝ma判断加速度的变化情况；根据运动方向与加速度方向的关系判断速度的变化情况．

二．简谐运动的周期性和对称性

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1.周期性

做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性．

2．对称性

(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．

(2)时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．在振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过这两点的时间相等．

(3)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度．

一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点，则该质点再经多长的时间第三次经过P点．

光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz,1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．

三．单摆特性的应用

1.等时性

单摆做小角度摆动时可视为简谐运动，每次全振动所用的时间相等，即为单摆的周期．单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆球的质量无关．

2．周期性

单摆的振动具有周期性．振动过程中，振动的位移、速度、动能、回复力都随时间做周期性变化．因此，在分析具体问题时必须考虑到由于单摆的周期性造成的多解．

3．对称性

单摆的运动过程关于平衡位置对称，主要表现在平衡位置两侧，当偏角相同时，摆球的速率、动能相同，平衡位置两侧的最大高度、最大偏角相等．

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如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫AB，甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：

(1)两球第1次到达C点的时间之比；

(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

单摆模型问题的求解方法

1．单摆模型指符合单摆规律的运动模型，模型满足条件：①圆弧运动；②小角度摆动；③回复力F＝－kx.

2．首先确认符合单摆模型条件，然后寻找等效摆长l及等效加速度g，最后利用公式T＝2πlg或简谐运动规律分析求解问题．

3．如图甲所示的双线摆的摆长l＝r

＋Lcos α.乙图中小球(可看做质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点振动，其等效摆长为l＝R.

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