2.1.2 向量的几何表示优质教案设计

平面几何中的向量方法

一、内容解析

本节以平面向量的应用独立成节，目的在于加强向量的方法、体现向量的价值、强调数学应用.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量知识与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，同时要熟练掌握向量法的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

二、问题诊断

运用向量知识解决几何问题，需要有一定的知识迁移、语言转换能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难.在思维层面上，学生往往没有想到平面几何与向量之间密切联系，或是不善于将几何实际问题转化为向量问题来解决. 三、对策分析

本节课是例题教学课，通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力. 四、重点难点

教学重点：用向量方法（基底法和坐标法）解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：如何将几何问题化归为向量问题.

五、教学过程设计

（一）复习引入

问题1：想一想：向量可以解决哪些常见的几何问题？

(1) 解决有关夹角、长度等的计算或度量问题。

(2) 解决直线平行、垂直、三点共线、

三线共点等位置关系。

几何元素及其表示

点A 线段AB ，AB两点距离

夹角∠AOB 向量及其运算

OA

|AB|，|AB|2=AB

cosAOBOAOB

|OA||OB|2

直线a∥b

A、B、C三点共线

直线a⊥b

（二）探究新知

探究１：推断线段长度关系

例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如图，

ACABAD，DBABAD，你能发现平行

四边形ABCD对角线的长度与两邻边长度之间的关系吗？

猜想：

a//b，ab

ABAC

ab，ab0

DABC问题2：矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？

C D

A 222B 2问题3：把这个结论：ACDB2(ABAD)从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？

DCAB

点评：通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低例1的思维难度，体验特殊到一般的数学思想. 问题4：题中的几何问题可转化为向量问题吗？

DC

22A22BACDB2(ABAD)

小结向量方法（基底法）解决几何的步骤：

（1）选择两个不共线的向量作为基底

（2）用基底表示相关向量 （3）把几何问题转化为只含有基底向量的运算 （4）把向量关系翻译成几何关系

为了便于记忆，我们把这种方法称为基底法.

问题5：还可以选择其它基底吗？向量可以用坐标运算吗？

y

D(x0,y0) C jO(A) iB(b,0) x 小结向量方法（坐标法）解决几何的步骤：

建立适当的坐标系

用坐标表示向量

把几何问题转化为向量的坐标运算．

把向量关系翻译成几何关系 为了便于记忆，我们把这种方法称为坐标法. （三）理解新知

问题6：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

师生共同简述：形到向量（转化）

向量的运算（运算）向量和数到形（翻译）．

（四）运用新知

探究（二）：三点共线问题

例2：在平行四边形ABCD中，已知DE11AB,

DFDB，求证：A、E、F三点共线.

34DFA分析：

ECB

第一步：转化AE//AF 第二步：运算（平形四边形习惯用基底法）

第三步：翻译

小结规律方法：用基底法判定A，B，C三点共线的步骤：

(1)证其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线．

(2)说明两向量有公共点．

(3)下结论，即A，B，C三点共线．

例2变式1：如图，已知AOB900,AOC450，且OA2,OC设ODkOC. 若A、B、D三点共线，求实数k的值.

B y

(k,-k) D

O A A(2,0) 90

O 45

C C(1,-1)

2,OB1，x 分析：

第一步：转化AB//AD 第二步：运算

第三步：翻译

问题7：用基底法还是用坐标法证明方便呢？

学生分组讨论交流，展示学生证明过程，教师点评.本题用向量几何运算（基底法）和代数证明（坐标法）均可，但同时，指出对平行四边形的问题，习惯用基底法，如果题目存在垂直的两个向量时，习惯用坐标法，学生可从中体会，培养学生思维的灵活性，培养学生的常规解法. 例2变式2：如图，在OAB中，D是AB上一点，OD

12OA＋OB.过点D的直线33分别与直线OA、OB交于异于A、B的E、F两点，且OExOA,OFyOB，求证：12为定值. xy分析：

第一步：转化

三点E、D、F共线ED//EF 第二步：运算（基底法）

第三步：翻译

A O F D B

E 点评：由于此题没有出现明显的三点共线，所以学生要把过点D的直线分别与直线OA、OB交于异于A、B的E、F两点转化三点E、D、F共线，培养学生的迁移能力.

（五）课堂小结

问题8：通过本节课的学习，你主要有哪些收获？

师生交流共同完成.

帮助学生总结知识，归纳方法.同时教会学生如何开展研究性学习

本节主要研究了用向量方法解决平面几何问题.

1．向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是：①几何问题向量化；②向量运算代数化；③向量结果几何化. 简述：形到向量

向量的运算向量和数到形．

2．运用向量法的过程中，可分为基底法和坐标法，而向量能够用坐标表示的，优先选择建立直角坐标系，通过坐标表示，转化成代数运算.

3．用向量方法解决平面几何问题的优点：向量能够运算，因此在解决某些问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，从而降低了思考问题的难度.它能比较轻松地解决平面几何中的距离（线段长度）、夹角、平行、垂直以及三点共线等问题.

（六）作业布置

1.求证：菱形的对角线互相垂直。

2.已知AC、BD是梯形ABCD的两条对角线，E、F分别是

BD、AC的中点。

求证：EF // BC

3.如图ABCD是正方形，

E、F分别是AB、BC的中点，用

向量方法证明：DE ⊥

AF.

4.如图

ABCD中，AB=3,AD=1,

∠DAB= 60度,求对角线BD和

AC的长。