二次根式的混合运算课件配套优秀公开课教案设计

《二次根式的混合运算》教学设计

重庆市江津第五中学校

汤文飞

一、学习目标

1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则。（重点）

2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。（难点）

二、教学设计

小结、归纳、提高

教学过程

复习引入

问题1

单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 前面两个问题的思路是：

转化

单×多

单×单

分配律

讲授新课

问题2

多项式与单项式的除法法则是什么?

一

二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然

二次根式的混合运算及应用

例1 计算：

1（8+3（））6；（2）（4236）22；

解：

（）1（8+3）6

86+36

43+32.

（2）（4236）22

4222362

3

23.2

2此处类比“多项式×多项

（3）(23)(25).式”¡即2解：

(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab

（3）(23)(25)

2（2）52+3215

1322.

二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行。

归纳【变式题】计算：

(1)（323）27+63；

60(2)（20163）+312-.

2解：(1)原式

633336

33.(2)原式

1+2333值后，得到的数应该为正数。

归纳有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对

32.典例精析

例2

甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，

其中有一段路基

的横断面设计为上底宽

4

2m

，下底宽6

2m

，高

6m

的梯形，

这段路基长

500 m，那么这段路基的土石方

(即路基的体积,其中路基

的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？

42m

6m

62m

解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：

14262650022326500222

2(a-b)=a-2ab+b

52650050003m3.答：这段路基的土石方为5000

3m3.



练一练

 3( 1 ) 6 -

2

； ( 2 ) 2 + 21 -2 .

计算：8

3( 1 ) 6 -

2

解：

( 2 ) 2 + 21 -2

8

= 2-22 + 2-22=

62-32

8 = 2-22 + 2-23

=

62-28

= -2 .3

= 23-2

3

=

3.

2

二

利用乘法公式进行二次根式的运算

问题1整式乘法运算中的乘法公式有哪些?

22

平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b;

222完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b;

222(a-b)=a-2ab+b.



问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也

适用吗?

前面我们已经知

道二次根式运算

类比整式运算，所以适用哟

整式的乘法公式

就是多项式×多

项式

典例精析

例3 计算：

2（）1(53)(53);(2)(32).

（）1(53)(53)

解：22（3）232+2

53

2.

(2)(32)2

2（3）232+22

解：

(3)3

(3)

343+4743.32481843;a3a2bab(4).aabab24822184332433243324330.aabababa3a2bab(4)abaabaababaabb.

归纳

进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简

二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算. 【变式题】计算：

20182018（）（1223）（223）;3（2）（2-3）（23）2.220172019解：(1)原式

=[（223）（22+3）]2018

2018=（1）解：(1)原式

=1.[2-3）（23）](2)原式

（20173（23）22212017（7+43）37+4337+33.

练一练

2

计算：

(1)解： (1)

22-1

22先用乘法交换律，再用乘法公式化简. 2-1

； (

2

) 2-3

57

23

.222(

2

) 2-3

57

23

2-3

23

57

122212942.57

57.

三

求代数式的值

22

例4 已知

试求x+2xy+y的值.

x31,y31,

解：x+2xy+y=（x+y)222 把

1,

y



3



1,

代入上式得x



3

得



（原式= 3+1）（+31）22（23）12.x32,y32，求【变式题】已知 x3y+xy3的值. 解:

∵

∴

xyx32,y32xy323223,3232321,

∴

x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]

12322110.

用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值。

归纳

拓展探究

在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 575735777思考

如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：

21,32等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？

根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？

例5 计算:

1（）1;321（）1解: 324（2）.511324514514（2）4515151323232.51.

归纳

分母形如

m

a



n

b

的式子，分子、分母同乘以

m

a



n

b

的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号。

11,b【变式题】已知

a





2

52

5

22ab

2

，求

5



2,解:∵

a



525252

2152b1522525252252,ab2ab2ab252522252522202225.

归纳

解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知

条件，再用乘法公式变形、代入求值即可. 已知 10的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值。

解：

3104a3,b103.a2b232(103)2310331031061061010.当堂练习

下列计算中正确的是（B）

A.3(313)3B.(12-27)31C.321D.3(23)6232.计算：222

（2+3）2245.3.设a1，b103,

10



3

则a

=b(填“>”“ < ”或

“= ”）

4.计算：

(1)

32

22

； (

2

) 12312-3;

解：(1)

32

22

(

2

) 13122-3



42

22



2-3

23232-3232-3

522 

4232-3

1.

.

解：原式

29+1+226+22.

5.在一个边长为 挖去一个边长(61555)cm的正方形内部，为 (61555)cm的正方形，求剩余部分的面积. 解：由题意得

(61555)2(61555)2(61555)(61555)(61555)(61555)12151056003(cm2).26003cm.即剩余部分的面积是

6.(1) 已知

x



3



1

，求

x



2

x



3

的值；

2解：x2-2x-3=(x-3)(x+1) 31331132321.512

(2)已知

x



,

y



，求

x

2



xy



y

2

的值. 512

解：

xy51515,xy51511,2222xxyyxyxy2225214.能力提升：

7.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式

2

的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

31方法一：

23123131312313231;1

方法二：2解：(1)

3

123132351313312351.3

531535232253;(1)请用两种不同的方法化简：;53(2)化简：

1215351533531545236543865320182016.3.(2)11142648612018201612426486201820161220182.

课堂小结

乘法公式

(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2

二次根式混合运算

化简求值

(a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

化简已知条件和所求代数式

分母有理化