习题训练教学内容

第16章

二次根式

专项训练

专训1.利用二次根式的性质解相关问题

名师点金：

对于二次根式a，有两个“非负”：第一个是a≥0，第二个是a≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．

利用被开方数a≥0及二次根式的性质解决有关问题

1．若式子x＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

121x－y，则3x－y的值为________．

2．若3x－4－4－3x＝323．(中考·黔南州)实数a在数轴上对应点的位置如图，化简（a－1）2＋a＝________.

(第3题) 4．若x、y为实数，且y>x－2＋2－x＋2，化简：

1y2－4y＋4＋2x. 2－y

5．已知x，y为实数，且x－5＋5－x＝(x＋y)2，求x－y的值．

利用a≥0求代数式的值或平方根

6．若a＋b＋5＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 015＝(

) A．－1 B．1 C．52 015 D．－52 015

7．若x－3与y＋2互为相反数，求6x＋y的平方根．

利用a≥0求最值

8．当x取何值时，9x＋1＋3的值最小，最小值是多少？

利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题

9．设等式a（x－a）＋a（y－a）＝x－a－a－y＝0成立，且x，y，3x2＋xy－y2a互不相等，求2的值．

x－xy＋y2

利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题

10．已知实数x，y，a满足：x＋y－8＋8－x－y＝3x－y－a＋x－2y＋a＋3，试问长度分别为x，y，a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．

专训2.比较二次根式大小的八种方法

名师点金：

含二次根式的数(或式)的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．

平方法

1．比较6＋11与14＋3的大小．

作商法

2．比较

a＋1a＋2与的大小．

a＋2a＋3

分子有理化法

3．比较15－14与14－13的大小．

分母有理化法

114．比较与的大小．

2－33－2

作差法

5．比较

倒数法

6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．

特殊值法

17．用“<”连接x，，x2，x(0

x

定义法

38．比较5－a与a－6的大小．

19－12与的大小．

33

答案

专训1

1．x≥－1 142．2 点拨：由题意知3x－4＝0，x－y＝0，所以x＝，y＝4，代入求值33即可．

3．1 x－2≥0，4．解：由得：x＝2，∴y>2，

2－x≥0∴原式＝1y－2（y－2）2＋2×2＝＋2＝－1＋2＝1. 2－y2－yx－5≥0，x≥5，5．解：由题意得：∴

5－x≥0，x≤5.∴x的值为5.∴(x＋y)2＝0，即(5＋y)2＝0，∴y＝－5.∴x－y＝5－(－5)＝10. 6．A

7．解：由题意，得x－3＋y＋2＝0，

∴x－3＝0，y＋2＝0，解得x＝3，y＝－2，则6x＋y＝16，∴6x＋y的平方根为±4.

18．解：∵9x＋1≥0，∴当9x＋1＝0，即x＝－时，式子9x＋1＋3的值9最小，最小值为3. 方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．

9．解：因为a（x－a）＋a（y－a）＝0，

所以a(x－a)＝0且a(y－a)＝0. 又因为x，y，a互不相等，所以x－a≠0，y－a≠0，

所以a＝0. 代入有x－－y＝0，所以x＝－y.所以x＝－y. 3x2＋xy－y23x2－x2－x2x21所以2＝2＝＝. x－xy＋y2x＋x2＋x23x23x＋y－8≥0，10．解：能．根据二次根式的被开方数的非负性，得解得x8－x－y≥0，＋y＝8，

∴3x－y－a＋x－2y＋a＋3＝0.根据非负数的性质，得x＋y＝8，x＝3，3x－y－a＝0，解得y＝5，∴可以组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12. x－2y＋a＋3＝0，a＝4.

专训2

1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，

17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2.又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋3. a＋1a＋2（a＋1）（a＋3）a＋4a＋32．解：因为÷＝＝＜1，易a＋2a＋3（a＋2）2a＋4a＋4知a＋1a＋2a＋1a＋2>0，>0，所以＜. a＋2a＋3a＋2a＋3方法总结：作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二次根式(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算两个二a次根式的商，然后比较商与1的大小关系．已知a＞0，b＞0，若＞1，则a＞baab；若＝1，则a＝b；若＜1，则a＜b. bb3．解：15－14

＝（15－14）（15＋14）15＋14

＝115＋14，

14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13

＝114＋13，

∵15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0，

∴115＋14<114＋13，

即15－14＜14－13. 4．解：∵12－3＝2＋3，13－2＝3＋2，

2＋3＞3＋2，

∴112－3＞3－2. 5．解：因为19－1219－319－33－3＝3，19－3>0，所以3>0，所以19－13>23. 6．解：11n＋3＋n＋1x＝n＋3－n＋1＝2＞0，

1y＝1n＋2－n＝n＋2＋n2＞0，

∵n＋3＋n＋1＞n＋2＋n＞0，

∴11x＞y＞0，∴x＜y. 7．解：取特殊值x＝14，则1x＝4，x2＝116，x＝12，

∴x2＜x＜x＜1x. 8．解：∵5－a≥0，∴a≤5.∴a－6＜0.

3∴a－6＜0. 3又∵5－a≥0，∴5－a＞a－6.