4.2 一次函数课堂实录及点评

§4.2 一次函数

1．理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展数学应用能力；

2．根据所给条件写出一次函数关系的表达式．

3.经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力. 教学重点：理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 教学难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展抽象思维能力.

一、情境导入

鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．

(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？

(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？

(3)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？

二、合作探究

【探究活动一】一次函数的概念

【类型一】

一次函数的识别

下列函数是一次函数的是(

) 8A．y＝－8x

B．y＝－x

8C．y＝－8x2＋2

D．y＝－x＋2 解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；故选A. 〖归纳〗一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．

【类型二】

利用一次函数和正比例函数定义确定字母的值

已知y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4. (1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？

(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？

解析：(1)根据一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)的函数，叫做一次函数，据此求解即可；

(2)根据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此求解即可．

解：(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m＋1≠0即m≠－1，∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；

(2)根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝±1，n＝－4，又∵m＋1≠0即m≠－1，∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．

〖归纳〗一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；

常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1.

【探究活动二】根据实际问题列一次函数表达式

写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数？

(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(个)之间的函数关系；

(2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km，气温下降5℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系．

解析：(1)根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可；

(2)根据高度每升高1km，气温下降5℃，得出即可．

〖归纳〗根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．

变式训练：完成课本P120练习题

三、课堂点拨

1．一次函数：y＝kx＋b；(k不等于零，k、b是常数) 2．正比例函数：y＝kx.(k不等于零，k是常数) 四、课堂练笔

1.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系：

. （2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系：

. （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度y（厘米）：

. （4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y（元）：

. （5）如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶.设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，x与y之间的关系：

. 2.（1）已知方程3x+2y=1，把它写成y是x的一次函数的形式是_____________，当x=1时，y=______；当y=1时，x=_________.

（2）若y+3与x-2成正比例，则y是x（

）

A 正比例函数

B 比例函数

C 一次函数

D 不存在函数关系

§4．3正比例函数的图象和性质

1．能用两点法画出正比例函数的图象；

2．正确理解正比例函数的图象及其性质；

3．通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质．

教学重点：正比例函数图象和性质的探究.

教学难点：理解正正比例函数图象是一条直线.

一、情境导入

前面，我们已经学习了用描点法画出函数的图象，也知道通常可以结合函数的图象研究它的性质和应用．那么，正比例函数图象有什么性质呢？

1做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：y＝2x；y＝3x；观察函数图象有什么特点？

二、合作探究

【探究活动一】正比例函数的图象

在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是(

)

解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数，故选C.

〖归纳〗要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．

【探究活动二】正比例函数的性质

【类型一】

直接考查正比例函数的性质

1

关于函数y＝3x，下列结论中，正确的是(

) A．函数图象经过点(1，3) B．不论x为何值，总有y＞0 C．y随x的增大而减小

D．函数图象经过第一、三象限

1解析：当x＝1时，y＝3，故A选项错误；只有当x＞0时，y＞0，故选项B11错误；∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故选项C错误；∵k＝3＞0，∴函数图象经过第一、三象限，D选项正确．故选D.

〖归纳〗解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系．

变式训练：完成课本P124练习第1题

【类型二】

利用图象性质比较函数值大小

点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是(

) A．y1≥y2

B．y1＝y2

C．y1＜y2

D．y1＞y2

解析：∵点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，∴y1＝－5，y2＝－2，∵－5＜－2，∴y1＜y2.故选C.

〖归纳〗熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

【探究活动三】实际问题中的正比例函数

一辆车从A地将一批物品匀速运往B地，如图，线段OP表示车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的关系，a表示A、B两地间的距离．现有以下四个结论：①车的速度为40km/h；②两地之间的距离为180km；③点P的坐标为(4.5，180)；④车到达B地后以原速度的1.5倍立即返回，可在出发7.5小时后回到A地．

以上四个结论正确的是(

) A．①②④

B．①③④

C．②③④

D．①②③④

解析：利用图象上D点的坐标得出车的速度为40千米/小时，再利用P点的坐标列出等量关系求出a即可；再设甲返回的速度为xkm/h，根据路程、时间、速度间关系，进而求出即可．

60a60解：∵车的速度为1.5＝40(千米/小时)，所以①正确；根据题意，得4.5＝1.5，解得a＝180(千米)．点P的坐标为(4.5，180)，则②③正确；设甲车返回的时间为x小时，则180＝40×1.5x，解得x＝3，则总时间为4.5＋3＝7.5(小时)，经检验，x＝3是方程的解并符合题意，则④正确．故正确的有①②③④.故选D. 〖归纳〗根据图象找到有用的信息，要注意横纵坐标表示的意义各是什么，再结合文字分析图中的图线所表示的实际意义是解题的关键．

变式训练：完成课本P124练习第2题

三、课堂点拨

1.当k＞0时，直线过

象限，y随x的增大而

；

当k＜0时，直线过

象限，y随x的增大而

.

2.︱k︱越大，图象越靠近

或

轴

四、课堂练笔

1.正比例函数图象y=（m-1）x的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是（ ）

A．m=1 B.m﹥1 C.m﹤1 D.m≧1

2已知正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，则函数的图象经过（ ）

A.第一、二象限 B. 第一、三象限

C. 第二、三象限 D. 第二、四象限

3.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是正比例函数y=-4x图象上两点，下列说法正确的是（ ）

A.

﹥

B.

﹤

C.当

﹤

时，

﹥

D.当

﹤

时，

﹤

4.若点（-1，a），（2，b）都在y=4x上，试比较a，b的大小，为a b.

5.函数y=-5x的图象在第

象限内，经过点（0，

）与点（1，

）y随x的增大而

.

6.在平面直角坐标系中，设点判（2，a）在正比例函数y=

x的图象上，则点

Q（a，3a-5）位于第

象限.

7.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2）当

﹤

时，

﹥

，则m的取值范围是

.

8.如图，三个正比例函数图象分别对应的解析式是：①y=ax；②y=bx；③y=cx；则a，b，c的大小关系式（ ）

A.a＞b＞c

B. c＞b＞a

C. b＞a＞c

D.b＞c＞a

9.已知在正比例函数y=-3mx中，函数y的值随x的增大而增大，则P（m，5）在第 象限.

10.一台拖拉机在耕地是，每一亩地耗油0.5升，现油箱有油25升，试写出耕地面积y（亩）与耗油量（x）升之间的正比例函数关系式，并求出自变量x的取值范围，画出图象.