3. 简谐运动的图像和公式特级教师教学实录

课题

授课班级

课时说明

简谐运动的图像和公式

高一（2）班

1课时40分钟

授课教师

教材

授课地点

王浩宇

教科版选修3-4 教育楼C座报告厅

教学内容分析

一、教学要求

《课程标准》的指导意见：通过观察与分析，理解简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动的特征。譬如：比较简谐运动的物体在不同位置所受的力、速度、加速度、动能和势能。

《考试说明》中对简谐运动，简谐运动的振幅、周期和频率，简谐运动的公式和图像，振动中的能量转化都做了要求，且为二级要求。

综合《课程标准》、《考试说明》和教材搭配教师用书中的指导意见，本节内容主要教学要求如下：

1.知道描述简谐运动的图像是一条正弦（或余弦）曲线，能用图像描述简谐运动的特征，从图像中可得出物体振动的周期、振幅以及任意时刻振动的位移。

2.能够比较简谐运动的物体在不同位置、不同时刻所受力、速度、加速度、动能和势能。

3.能写出简谐运动的表达式，了解表达式中各量的物理含义，掌握“公式图像运动情景”三者之间的联系。

4.理解相位的物理含义，知道同相与反相。

二、内容分析

《简谐运动的图像和公式》是选修3-4第一章第3节的内容。本节内容是在观察和分析了以弹簧振子和单摆为模型的简谐运动的基本特点后，进一步对简谐运动描述方法的学习。学习本节内容，可以为下一章《机械波》的学习做必要的知识和能力准备。因此，本节内容在高中物理机械振动和机械波的教学内容中占据重要地位，起着承上启下的作用。简谐运动的图像是对简谐运动特点的直观描述，而简谐运动的公式则是定量计算的基础。本节内容蕴含着归纳、数形结合等丰富的物理思想方法，能较好地培养学生的观察能力、图形分析能力。

学生情况分析

一、学生已经具备的经验、概念、方法、能力

1.简谐运动的相关概念（本章前两节），包括弹簧振子、单摆、平衡位置、振子、回复力、振幅、周期、频率、位移等，其中简谐运动中振子的位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，与之前学的位移不同。对简谐运动的描述也仅仅停留在振幅、周期、频率这三个概念上，并没有上升到运用简谐运动图像和公式这两种方法来描述简谐运动的特点。

2.知道简谐运动是关于平衡位置对称的一种周期性运动，知道弹簧振子和单摆（摆角小于5°）是简谐运动的两个模型。

3.知道x-t图像的斜率可以表征速度的大小，具备基本的图像分析能力和作图能力。

4.掌握基本的三角函数和图像的知识基础，具备基本的数学公式推导能力和数学逻辑推理能力。

二、学生课前学习完成的认识（预估）

1.知道“沙摆实验”获得简谐运动图像的原理，组内协作完成教材中描述的实验操作。

2.了解频闪照片获得简谐运动图像的方法。

3.知道简谐运动的图像是正弦（或余弦）函数关系图像，能从图像中找出振动周期和振幅。

4.通过查阅资料了解证明简谐运动图像是正弦函数图像的理论推导和实验方法。

5.知道简谐运动的表达式，了解图像和表达式的关系，能解决简单的应用问题，能对表达式进行简单推导和变换。

6.知道简谐运动的相位和相位差。

三、可能产生的理解障碍和误区

1.“沙摆实验”漏斗的运动没在同一竖直平面内，成为圆锥摆，或摆角过大以致漏斗运动不能认为是简谐运动。拉动纸板做变速运动，没保证沿横轴直线抽出，导致实验结果不理想，造成误导。

2.通过分析自己绘制的图像和通过实验得到的图像，学生容易看着“像”正弦曲线就完全认可教材中的结论，缺乏质疑精神，不能很好的质疑并为进一步验证而努力。

3.仅仅掌握了简谐运动图像和公式的形式，不能建立起“公式图像运动情景”三者之间的联系。

教学目标和重难点

一、教学目标

1.知道什么是简谐运动的图像。知道描述简谐运动的图像是一条正弦（或余弦）曲线，并从图像中可以得出物体振动的周期、振幅以及任意时刻振动的位移。

2.能写出简谐运动的表达式，了解表达式中各量的物理含义。理解“公式图像运动情景”三者之间的关系。

3.理解相位的物理含义，知道同相与反相。

二、教学重点与难点

1.简谐运动的图像和公式的获得。

2.“公式图像运动情景”三者之间的联系。

三、本节课教学难点的突破策略

振动图像是本节课的重点，也是难点。困难在于学生对于x-t坐标系中某一点的确切含义缺乏清晰认识，对简谐运动图像是一条正弦（或余弦）函数图像的认同不足。通过课前的自主学习，对于简谐运动的x-t图像是一条正弦函数图像，一部分学生容易盲目接受教材给出的结论，另一部分学生经过缜密思考，会产生质疑，但教材中并没有给出严格的证明方法和证明过程。鉴于此，结合课前任务清单中的问题设置，经历“理论分析试画实验获得拟合法证明”的过程获得实验结论，符合学生的认知过程。而第1个问题对图像和公式研究必要性的探讨，是明确x-t

坐标系中某点确切含义，让学生获得驱动力的有效手段。在获得了简谐运动图像是一条正弦曲线基础上，结合数学知识得到简谐运动的表达式，对学生来说也存在一定难度。大部分学生通过自主学习能够类比写出简谐运动公式的形式，但并不能建立和理解公式、图像和运动情景三者之间实质上的联系，尤其是对公式中角速度的理解。为解决这一问题，需要结合教材发展空间中的阅读材料《匀速圆周运动与简写运动关系》，建立起圆周运动与简谐运动的关系，这是理解这一问题的有效途径。学习简谐运动图像和公式的主要目的主要是为了描述简谐运动的特点，并能定量解决一些实际问题。这往往需要建立“公式图像运动情景”之间的关系，通过前面的学习，学生对“运动情景图像公式”关系已初步建立，但对于“公式图像运动情景”关系还比较生疏，为了巩固和加强学生对于“公式图像运动情景”三者之间关系的理解，设置的课前检测题主要针对这一部分加强训练，以达到学以致用、巩固升华的目的。

教学流程

结合问题清单，预习教材P.9-P.12，完成预习笔记，整理疑惑，提出问题

完成问题清单中的任务和前测题

课前准备

教师整理学生笔记和前测题，提炼反映出的典型和共性问题，完善教学内容

反馈课前预习掌握内容情况

简谐运动的图像问题交流

简谐运动的表达式问题交流

简谐运动的相位、相位差问题交流

学习效果检测（完成后测题，交流反馈）

总结归纳，布置后续学习内容（课后作业，下一节课问题清单和前测题）

Yes No

Yes

解决出现的问题

理论分析，试画

小组实验，试做

研究必要性探讨

资料查阅，试证

Yes

随堂检测，反馈

教学过程

交流预习后的共识，整合自学后的问题（课前问题清单和前测题见附录）

通过对学生问题的分析，整理成三个问题组，展开本节课的教学

一、简谐运动的图像

解决在以下环节中反馈提炼出来的学生可能涉及到的问题

1.对简谐运动的图像和公式研究的必要性探讨（结合问题清单第1题）

学情简析：此部分内容学生可能不知从何入手，采用例题做必要引导，让学生有据可循。

知识准备：简谐运动是最简单、最基本的振动，根据之前对简谐运动的动力学和运动学分析，知道其振动过程中关于平衡位置对称，是一种周期性运动。结合问题清单第1题，在给定简谐运动周期和振幅的情况下，学生可以很容易确定出振子处在平衡位置和最大位移处所对应的时刻，但依据学生现有知识还不能确定出任意时刻振子的位置，而x-t图像和关系式恰恰是描述位置和时间对应关系的非常直观而有效的方法，从而让学生认识到确定简谐运动图像和公式的必要性，给学生以目标和动力。

采取策略：展示学生的前测结果，分享交流；个别有待商榷的想法，提出来让大家探讨。

2.根据简谐运动某些特殊时刻确定的振子位置，结合简谐运动过程中的速度变化情况和x-t图像的斜率反应速度变化特点等相关知识，尝试在坐标纸上画出简谐运动的大致图像，猜测图像可能是一条什么图像。（结合问题清单第2题）

学情简析：学生在试画图像时，可能出现的问题有以下几点

（1）画图规范性

（2）描点位置不准确

（3）把图像画成折线

知识准备：针对学生可能出现的问题，做以下知识准备。

（1）注意标清各点的横纵坐标，关注图像选取的标度是否合理。

（2）描点位置不准确原因可能有两点，一是标度的选取不统一，主要是作图规范性问题；二是对简谐运动特点掌握不到位。

（3）图线画成折线主要是没考虑到简谐运动速度的变化与图线斜率的对应关系。从平衡位置开始计时，向最大位移处运动时速度是逐渐减小的，反映在x-t图像上斜率逐渐变小；从最大位移向平衡位置运动，速度变大，图像斜率逐渐变大。

采取策略：展示学生课前试画出现的主要问题，小组交流讨论，解决问题；展示试画结果中优秀图像，以作示范。

3.以小组为单位尝试教材中P.9图1-3-1的”沙摆实验”。重点关注学生在实际操作过程中遇到的困难以及提出的解决思路。（结合问题清单第3题）

学情简析：学生在试做实验时，可能出现的问题有：

（1）对实验原理认识不到位。例如：不清楚为什么沙摆在纸上留下的印记就是振子简谐运动的图像；纸板为什么要匀速拉动等。

（2）实验操作不规范。例如：沙摆摆动偏角过大，大于5°；沙摆摆动不在一个平面内，做圆锥摆；纸板抽动没控制好尽量匀速，导致得到图像与真实图像偏差太大等。

知识准备：针对学生可能出现的问题，做以下知识准备。

（1）为什么沙子的印记可以作为简谐运动的x-t图像？

单摆摆动时，薄板匀速运动，薄板运动的距离与时间成正比，因此可以用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一点的位置反映了不同时刻振子离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律。如若纸板变速运动，则横轴表示的时间并不均匀变化。

（2）单摆满足简谐运动的条件

（3）实验过程中遇到的具体问题的解决，参照学生出现的问题和提出的解决方案。

采取策略：教师跟踪学生课下分组实验，观察学生出现的问题，拍下实验结果，备以课堂展示。课上一组同学展示实验，学生评价实验过程。展示课下实验结果照片，让学生根据照片分析推理实验中出现的问题，以检测学生的理解程度。

4.阅读教材最后发展空间，结合所给的阅读材料或通过互联网查阅相关资料，看如何用严格的理论和实验来证明教材中提到的简谐运动的图像是一条正弦（或余弦）函数图像的说法。

（1）参考圆法

（2）数值检验法

（3）图像拟合法（利用传感器实验验证）

二、简谐运动的关系式

1.确定简谐运动的正弦函数图像中的振幅和周期，结合三角函数知识，写出简谐运动的关系式。

学情简析：通过数学上对三角函数的学习，学生已经知道正弦函数公式为yasinx，知道表达式中a代表振幅，横坐标x对应的是角度。了解了相位和初相位的概念，知道正弦函数的图像是一条正弦曲线，知道图像和公式的对应关系，并能进行相应的数学推导和计算。但学生在已有的数学知识基础上，结合简谐运动的正弦曲线图像，尝试写出或理解简谐运动的对应表达式xAsint，仍有一定难度。可能遇到的困难有：

（1）混淆数学通式中的角度x和简谐运动表达式中位移x的含义。

2t2ft，但无法建立起简谐运动与角度或角速度之间的联系。T这也是理解简谐运动“公式图像运动情景”之间联系的主要障碍。

（2）学生知道角度t（3）不理解表达式xAsint中的初相位的物理含义。

知识准备：针对学生可能出现的问题，做以下知识准备：

（1）数学通式中的x代表角度，而简谐运动表达式中的x代表位移。

（2）对教材P.12发展空间中《匀速圆周运动与简谐运动》的研习，知道匀速圆周运动的水平分运动为简谐运动，每一个简谐运动都有一个匀速圆周运动与之对应。通过建立起简谐运动与匀速圆周运动之间的联系，明确简谐运动与角度和角速度之间联系，这是理解t有效途径。

2t2ft的T

采取策略：课前研读，提出疑问，针对性准备，集中展示，解决问题。

2.简谐运动的相位、相位差。

学情简析：数学上已经学习了相位的概念，但相位的物理意义以及相位和简谐运动的对应关系学生并不清楚，理解也存在一定困难。

知识准备：从表达式中理解相位和相位差，教学中注意和数学相结合，把数学内容物理化。通过教材“观察思考”中的演示实验，理解同相、反相、相位差的物理意义。

采取策略：学案问题引导，引发思考。结合实验演示，体会相位和相位差的物理意义。

三、结合简谐运动的图像和关系式，解决问题。

学情简析：通过前面“运动情景图像公式”的学习，学生已经基本掌握了公式、图像、运动情景三者之间的关系，并能在三者之间进行简单的思维转换。为了强化学习效果，通过必要的随堂练习，来巩固和检验学习效果。

知识准备：简谐运动的图像和关系式。

采取策略：随堂练习，学以致用，夯实巩固，及时反馈。

四、总结

引导学生总结归纳本节课所学内容。

教学反思

通过实际教学，我感觉本节课的教学主要有以下几个特点：

1.针对重点难点，采取恰当的教学策略

对学情的深入分析，可以更好的掌握学生的困难在哪里，从而确定本节课的难点。本节课的难点为：

（1）简谐运动图像的证明。

（2）简谐运动公式的获得与各物理量的理解。

（3）“公式图像运动情景”三者之间的联系。

为了更好的突出重点，突破难点，在教学设计时让学生理论分析与实验获得相结合，在获得图像的初步印象后，再提出猜想与假设，最后进行验证，这样的设计符合学生的认知规律。对公式教学的过程让学生到前面展示，让学生充分的交流与讨论，让他们的思想进行碰撞，获得知识的同时培养能力。

2.突出主体地位，促进学生发展

无论课前还是课上，尽可能多的增加学生活动。通过小组合作学习，让他们充分交流讨论，给学生尽量多的发言与展示机会，让学生学会思考，学会学习，学会合作，让每一个学生充分的参与到课堂中来，真正落实学生的主体地位。

3.提高课堂效率，重视巩固提升

通过课前自主学习，简化课堂教学过程，课上集中解决学生的问题。这样有针对性的教学，大大提高了课堂效率，也节省了时间。在这些时间的分配上，主要是让学生对学习的内容进行巩固和提升。因此，本节课设置了随堂检测题和思考问题，让学生在练习中巩固，在思考中提升。

通过实际教学，我也反思了几个问题：

1.上课的班级平时上课方式以传统教学方式为主，对这种新的教学方式还有些不适应，且学生个体之间比较自学能力和意识差别较大，在预习时不能够深入思考，有些同学提不出来问题。

2.课前材料提供的不够丰富，提供一些微课、动画、网络资源会更好。

3.课前任务清单设置问题量稍大，加之各科课业压力较大，课前任务清单完成的并不理想。

附录1 班级： 姓名：

《简谐运动的图像和公式》课前任务清单

结合下面的问题清单，预习教材P.9-P.12，完成预习笔记，整理出自己的问题

一、简谐运动的图像

1、如图所示为弹簧振子模型，振子做简谐运动的振幅A= 0.1 m，振动周期T= 4 s，以平衡位置O为坐标原点开始向右振动并开始计时，规定水平向右为正方向，试回答下列问题：

（1）写出在1s末、2s末、3s末、4s末振子的位移分别是 、 、 、 。

（2）仅用之前学习的内容，你能确定在1.5s末、2.5s末、2.6s末这三个时刻振子的位移吗？如何才能确定任意时刻质点的位移？思考研究简谐运动图像和公式的必要性。

A=0.1 m *你的困惑是：

2.把问题1-（1）中确定的四个时刻振子的位置坐标在坐标纸上描点，结合振子简谐运动过程中速度的变化特点，试画出振子做简谐运动的x-t图像。

xmts

你猜测上面画出的x-t图像是什么函数的图像？

*你的困惑是：

3.以小组为单位尝试教材中P.9图1-3-1的“沙摆实验”。思考以下问题：

（1）观察落在薄板上的细沙的位置和各时刻漏斗（振子）的位置有什么关系？

（2）尝试匀速抽出薄板，细沙在薄板上形成什么形状的曲线？加速抽出呢？

（3）你对得到的实验结果满意吗？你认为这个实验应注意哪些关键环节？在实际操作过程中遇到了哪些困难，打算如何解决。

*你的困惑是：

4.教材P.9中第二段内容提到，沙摆做简谐运动的x-t图像是一条正弦（或余弦）曲线，请阅读任务清单中附录2中的材料，或利用互联网查阅相关资料，总结证明方法。（设计实验证明）

*你的困惑是：

二、简谐运动的关系式

5.简谐运动的正弦函数图像中能够反映哪些物理量？结合你对数学上学习的三角函数通式yasin的理解，你能否结合图像和三角函数公式尝试写出简谐运动的位移x关于时间t的表达式？说说你的疑惑在哪里？

*你的困惑是：

6.教材中给出的简谐运动的表达式为xAsint，式中22f，回想我们之前学T习的哪部分知识涉及到了角速度，仔细研读教材P.12发展空间中的材料，说说你对公式中和的理解。

*你的困惑是：

7.说说你对相位和相位差概念的理解。

*你的困惑是：

三、课前检测题

1.如图所示，是两人合作模拟振动曲线的记录装置。先在白纸中央画一条直线OO1使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴．一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x－t图像。下列说法中正确的是(

)

A．白纸上OO1轴上的坐标代表速度

B．白纸上与OO1垂直的坐标代表振幅

C．匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化

D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长

2.如图所示是某振子做简谐运动的图象，下列说法中正确的是(

)

A.因为振动图象可由实验直接得到，所以图象就是振子实际运动的轨迹

B.振动图象反映的是振子的位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹

C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度

D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向

3.一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(

)

四、随堂检测题

1.如图所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：

（1）确定振子振动起始位置和振动方向；

（2）写出对应的简谐运动表达式；

（3）写出t1=0.5s和t2=2.5s时振子的位移x1、x2；

（4）确定t1=0.5s和t2=2.8s时振子的速度和加速度方向，并比较v1、v2和a1、a2的大小。

2.你还能画出哪些描述简谐运动特征的图像？比如F-x图像，F-t图像，a-x图像，a-t图像，v-t图像等。

附录2 阅读材料

如何验证实验所得的图像是正弦函数图像？

方法一：数值检验法

先假设图像是正弦函数关系，测量它的振幅和周期，写出具有这样振幅和周期的正弦函数的表达式，再检验其他点的坐标是否满足此方程。

方法二：图像拟合法

测量振子在各个位置的横、纵坐标，把测量值输入计算机，用数表软件描点，再用函数软件进行拟合，进而寻找到位移与时间的函数关系。