探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优秀教学设计

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）

教学目的：

1、知识目标：

（1）利用单位圆中的三角函数线作出ysinx,xR的图象，明确图象的形状；进一步理解几何法作图原理。

（2）根据关系cosxsin(x)，作出ycosx,xR的图象；了解三角函数图象2的变换作图．

（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题。

2、能力目标：

（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法。

（3）通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、

解决问题

的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想．

3、德育目标：

通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。

教学重点：掌握五点法作图。 教学难点：理解几何法作图原理，作余弦函数的图象，周期性。 授课类型：新授课。

教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

1 页

共

8 页

一、复习引入：

1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2..正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

P与原点的距离r(rxyx2y20) 则比值叫做的正弦 记作： sin

比值叫做的余弦 记作： cos

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyxMP，cosOM

rrxrxrr22yryrP(x,y)向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

4、函数图象的作法——描点法（三步作图法即列表、描点、连线）

二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）. 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

2 页

共

8 页

第二步：在单位圆中画出对应于角0,，，,…，2π的正弦线正弦线362（等价于“列表”

）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”

）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. 把角x(xR)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.

（2）余弦函数y=cosx的图象：

用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

3 页

共

8 页

立”[把坐标轴向下平移，过O1作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦4线O1A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么O1A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]

也可以用“旋转法”把角

的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱2导公式cosxsin(x),还可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得22余弦函数y=cosx的图象. y1-6-5-4-3-2-o-1y1-6-5-4-3-2--123456xy=sinxy=cosx23456x

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)、(,1)、(,0)、2(3,-1)、(2,0) 2余弦函数y=cosx, x[0,2]的图象的五个点关键是:(0,1)、(,0)、2(,-1)、(3,0) (2,1) 2只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以。

3、讲解范例：

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

4 页

共

8 页

例1.画出下列函数的简图：

(1)y=1+sinx x∈［0,2π］; (2)y=－cosx x∈［0,2π］. 解:(1)按五个关键点列表: x sinx y 0 0 1 π/2 1 2 π

0 1 3π/2 - 1 0 2π

0 1 利用正弦函数的性质描点画图(如下图).

y

2

fx = 1+sinxgx = sinx

5

x 3Oππ2π22-2

(2)按五个关键点列表: x cosx y 0 1 - 1 π/2 0 0 π

- 1 1 3π/2 0 0 2π

1 - 1 利用余弦函数的性质描点作图(如下图).

2y

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

5 页

共

8 页

fx = -cosx

三、反馈练习: 1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[-π/2 ,3π/2 ]的简图.通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就可以得到前者? 2.观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间: (1)sinx＞0 , (2)sinx＜0 , (3)cosx＞0 , (4)cosx＜0 .

（例题、练习都用课件展示）

四、合作学习

●探究1 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

●探究2 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。

●探究3 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

6 页

共

8 页

等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，

再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。

●探究4 不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。

小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。

五、归纳小结

1、正弦、余弦曲线几何画法和五点法；五点（画图）法

： （1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。

（2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。

（3）关键点 横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π

2、图形变换

平移、翻转等

3.注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系。

六、布置作业：P46

习题1.4 A组 第1题：

（1）y1sinx,x[0,2]；（2）y3cosx1,x[0,2]. 七、板书设计：

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

7 页

共

8 页

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

1、

几何作图法——利用正弦线作正弦函数的图象 3、正弦函数、余弦函数图象的关系

2、

“五点法”——利用五个关键点画图 4、练习

例（1） 例（2） （1） （2）

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（1）教案

第

8 页

共

8 页