2.1.3 相等向量与共线向量国家获奖教案

平面向量数量积与运算律

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.

3．“投影”的概念：作图

C

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为

|b|；当 = 180时投影为

|b|. 4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1

ea = ae =|a|cos；

2

ab



ab = 0 3

当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或|a|aa

4cos =ab

；5|ab| ≤

|a||b| |a||b|二、讲解新课：

平面向量数量积的运算律

1．交换律：a



b = b



a

证：设a，b夹角为，则a



b = |a||b|cos，b



a = |b||a|cos

∴a



b = b



a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 证：若> 0，(a)b =|a||b|cos，

(ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若< 0，(a)b

=|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos. 3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a，

AB= b，OC= c，

∵a + b

（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2，

∴c(a + b) = ca + cb

即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

２２（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

２２(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ２

三、讲解范例：

例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a

 5b垂直，a

 4b与7a

 2b垂直，求a与b的夹角. 解：由(a + 3b)(7a

 5b) = 0  7a2 + 16ab

15b2 = 0

①

(a

 4b)(7a

 2b) = 0  7a2

 30ab + 8b2 = 0

②

两式相减：2ab = b2

代入①或②得：a2 = b2

abb21设a、b的夹角为，则cos =

∴ = 60

2|a||b|2|b|2例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD中，ABDC，ADBC，AC=ABAD

2∴|AC|2=|ABAD|ABAD2ABAD

22而BD=ABAD

，

2∴|BD|=|ABAD|ABAD2ABAD

222∴|AC|2 + |BD|2 = 2AB2AD= |AB|2|BC|2|DC|2|AD|2

例3 四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝22ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.

解：四边形ABCD是矩形，这是因为：

２２一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）

２即｜ａ｜＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２

由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①

２２２２同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②

由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等. ∴四边形ABCD是平行四边形

另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC. 综上所述，四边形ABCD是矩形. 评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：

1.下列叙述不正确的是（

）

A.向量的数量积满足交换律

B.向量的数量积满足分配律

C.向量的数量积满足结合律

D.a·b是一个实数

2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（

）

A.72

B.-72

C.36

D.-36 3.|a|=3，|b|=4，向量a+33b与a-b的位置关系为（

）

44A.平行

B.垂直

C.夹角为

D.不平行也不垂直

3２4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)＝

. 5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|=

. 6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝

.