复习参考题教案1

第69讲

概率与统计的综合问题

|||| 课后练习

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[P279] 1.(2016·广州市综合测试(一))从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.

(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；

(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取2件产品,求这2件产品都在区间[45,65)内的概率. 解：(1)设在区间[75,85]内的频率为x,

则区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x和2x.

依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1,

解得x＝0.05.

所以在区间[75,85]内的频率为0.05.

(2)由(1)得,在区间[45,55),[55,65),[65,75)内的频率依次为0.3,0.2,0.1.

用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本,

0.3则在区间[45,55)内应抽取6×＝3件,记为A1,A2,A3.

0.3＋0.2＋0.10.2在区间[55,65)内应抽取6×＝2件,记为B1,B2.

0.3＋0.2＋0.10.1在区间[65,75)内应抽取6×＝1件,记为C.

0.3＋0.2＋0.1设“从样本中任意抽取2件产品,这2件产品都在区间[45,65)内”为事件M,

则所有的基本事件有：{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,C},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C},{B1,B2},{B1,C},{B2,C},共15种.

事件M包含的基本事件有：{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10种.

102所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率为＝.

1532.(2015·新课标卷Ⅱ)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度的评分,得到A地区满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表. A地区满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频率分布表

满

意

度

评分分组

频

数

[50,

60) 2 [60,

70) 8 [70,

80) 14 [80,

90) 10 [90,

100]

6 (1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可) B地区满意度评分的频率分布直方图

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分

满意度等级

低于70分

不满意

70分到80分

满意

不低于90分

非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 解：(1)B地区满意度评分的频率分布直方图如下：

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,

B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,

B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.

(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”,CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6.

P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.

所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 3.(2016·湖南省六校联考)某组同学将高中学生课外阅读情况作为一个研究性课题,他们随机调查了100名同学,其中55个女同学,45个男同学,下图是根据调查结果绘制的周课外阅读时间的频率分布直方图,将周阅读时间不低于4小时的同学称为“阅读爱好者”,已知“阅读爱好者”中有10个女同学.

(1)根据已知条件完成2×2列联表,并据此资料你能否有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关？

男

女

合计

非阅读爱好者

阅读爱好者

合计

(2)将周阅读时间不低于5小时的同学称为“读书迷”,已知“读书迷”中有2名女同学,若从“读书迷”中任意选取2人,求至少有1名女同学的概率. nad－bc2附K＝. a＋bc＋da＋cb＋d2解：(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“阅读爱好者”有25人,从而2×2列联表如下：

男

女

合计

nad－bc2K＝

a＋bc＋da＋cb＋d2非阅读爱好者

30 45 75 阅读爱好者

15 10 25 合计

45

55

100

由2×2列联表中数据代入公式计算得,

100×30×10－45×152100＝＝≈3.030,

3375×25×45×55因为3.030<3.841,所以,没有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关.

(2)由频率分布直方图知,“读书迷”为5人,记他们为1,2,3,4,5,其中1,2为女同学, 从“读书迷”中任意选取2人,有以下10种情况：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5).

7至少有1名女同学的情况有7种,故至少有1名女同学的概率为.

104.(2016·新课标卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n＝19,求y与x的函数解析式；

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

解：(1)当x≤19时,y＝3 800；

当x＞19时,y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700, 所以y与x的函数解析式为

3 800，x≤19，y＝(x∈N).

500x－5 700，x＞19

(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000.

100若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平1均数为(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.

100比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.