2.1.3 相等向量与共线向量名师教学设计1

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[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．

(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？

提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．

(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

提示：用有向线段．

(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？

提示：长度相等且方向相同．

2．归纳总结，核心必记

(1)向量的概念

数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)有向线段

带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．

(3)向量的表示方法

①向量可以用有向线段表示．向量||．

②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母终点字母表示，例如，(4)几种特殊的向量

①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0. ②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．

③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．

，，. ，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．

[尝试解答]

①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．

②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.

③不正确．依据规定：0与任一向量平行．

④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．

答案：②⑤

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

练一练

1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号) (1)两个单位向量不可能平行；

(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；

(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.

解析：(1)错误，单位向量也可以平行；

(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；

(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．

答案：(1)(2)(3)

讲一讲

2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

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①②③，使|，使|，使||＝42，点A在点O北偏东45°；

|＝4，点B在点A正东；

|＝6，点C在点B北偏东30°. [尝试解答]

(1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是 (2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与如图所示．

纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量

②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方如图所示．

格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．

答案：(1)12

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

练一练

2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

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(1)作出向量(2)求||. ；

解：(1)向量如图所示．

(2)由题意，易知

所以在四边形ABCD中，AB綊CD，

所以四边形ABCD为平行四边形，

[思考1]

两个向量相等的条件是什么？

提示：方向相同，模相等．

[思考2]

两个向量共线的条件是什么？

名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．

讲一讲

3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．

方向相反，故共线．

(1)找出与向量(2)找出与向量共线的向量；

相等的向量．

方向相同，

与长度相等且方向相同，方[尝试解答]

(1)依据图形可知向相反，所以与向量共线的向量为(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知所以与向量相等的向量为

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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已知向量方向相同的向量．练一练

13．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC3a的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3

(1)与向量(2)与向量(3)与向量相等的向量有________；

共线，且模相等的向量有________；

共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．

2．要重点掌握向量的三个问题

(1)向量有关概念的辨析，见讲1；

(2)向量的表示，见讲2；

(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3. 3．本节课要注意两个区别

(1)向量与数量

①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．

②数量可以比较大小，向量不能比较大小．

(2)向量与有向线段

①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．

②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．

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课下能力提升(十三) [学业水平达标练] 题组1

向量的有关概念

1．有下列物理量：

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．

其中，不是向量的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选C

因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有(

) A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

解析：选D

时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．

3．下列说法中，不正确的是(

) A．零向量没有方向

B．零向量只与零向量相等

C．零向量的模为0 D．零向量与任何向量都共线

解析：选A

零向量的方向是任意的．

题组2

向量的表示

4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共(

) A．向东行进了8千米

B．向东行进了2千米

C．向东行进了5千米

D．向西行进了3千米

解析：选B

记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．

5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是(

)

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解析：选B

示．

6．在如图的方格纸中，画出下列向量．

方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表

(1)|

(2)|

(3)求出||＝3，点A在点O的正西方向；

|＝32，点B在点O北偏西45°方向；

|的值．

解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．

(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|题组3

相等向量与共线向量

7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有(

) |＝

A．一组

B．二组

C．三组

D．四组

解析：选A

由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即

8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量有(

) 共线的向量共“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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A．2个

B．3个

C．6个

D．9个

解析：选D

与向量个．

9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量则m＝________．

解析：∵A，B，C不共线，∴又∵m与答案：0

10．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中，

，与不共线，

是平行向量，与是共线向量，共线的向量有共9都共线，∴m＝0.

(1)分别写出与(2)写出与(3)写出与相等的向量；

共线的向量；

模相等的向量．

[能力提升综合练] 1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是(

)

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解析：选B

向量相等要求模相等，方向相同，因此2．设四边形ABCD中，有A．平行四边形

B．矩形

C．等腰梯形

D．菱形

解析：选C

又则DC∥AB，且DC与AB不相等，所以四边形ABCD是梯形，则梯形的两腰相等．

3．如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(

) 与都是和相等的向量．

则这个四边形是(

)

解析：选D

根据相等向量的定义，分析可得：

4．给出下列命题：①若|a|＝0，则

a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

解析：选A

①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．

5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.

解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，

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所以|a0|＋|b0|＝2.

答案：③

6．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，

1设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.

2在Rt△ABO中，易得|则||＝2||＝23.

|＝3，

|＝________．

答案：23 7．有下列说法：

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

③在▱ABCD中，一定有④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤共线向量是在一条直线上的向量．

其中，正确的说法是________．

解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；

对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；

对于③，在▱ABCD中，正确；

对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；

对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．

答案：③④

8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝5. 平行且方向相同，所以，故③

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(1)画出所有的向量(2)求|；

|的最大值与最小值．

，如图所示．

解：(1)画出所有的向量

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，|②当点C位于点C5或C6时，|∴|

|取得最小值12＋22＝5；

|取得最大值42＋52＝41，

|的最大值为41，最小值为5. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/