复习参考题公开课教案

平面向量

考情分析：

1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．

2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．

热点分类突破：

热点一

平面向量的线性运算

1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．

2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

→→→→→例1

(1)(2017·北京市海淀区适应性考试)如图所示，已知AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列各式中成立的是(

)

31A．c＝b－a

22C．c＝2a－b

答案

A →→→→解析

因为AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，

→→→→3→→3→→所以OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA) 223→1→31＝OB－OA＝b－a，故选A. 2222→→(2)(2017届福建福州外国语学校期中)已知e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝→2e1－5e2，CD＝λe1－e2，若三点A，B，D共线，则λ＝________. 答案

8 →→解析

∵A，B，D共线，∴AB与BD共线，

B．c＝2b－a

31D．c＝a－b

22

→→∴存在实数μ，使AB＝μBD，

→→→∵BD＝CD－CB＝(λ－2)e1＋4e2，

∴ 3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，

μ＝2，μλ－2＝3，∴

∴4μ＝2，

1λ＝8.

思维升华

(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．

(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．

→→→→→跟踪演练1

(1)(2017届广西陆川县中学二模)如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝→→3CE，则DE等于(

)

31A.b－a

4331C.a－b

43答案

D →→→解析

BC＝AC－AB＝b－a，

1→→→3DE＝DC＋CE＝(b－a)－b

4353＝b－a. 124(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(

) A．(－5，－10)

C．(－3，－6)

答案

B 解析

因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，

所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. B．(－4，－8) D．(－2，－4) 53B.a－b

12453D.b－a

124

热点二

平面向量的数量积

1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ. 2．三个结论

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

→|AB|＝x2－x12＋y2－y12. (3)若非零向量a＝(x1，y1)，非零向量b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

x1x2＋y1y2a·b则cos θ＝＝222. |a||b|x1＋y1

x22＋y2例2

(1)(2017·湖北省武汉市武昌区调研)在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，→→CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC

，若AB＝4 ，AD＝3，则AN·MN等于(

) A．－7

C.7

答案

B →→→→3→→3→解析

AN＝AD＋DN＝AD＋DC＝AD＋AB

，

441→1→1→→→→1→→→→3→1→1→－DC＝AD－AB

，那么AN·MN＝MC＋CN＝BC＋MN＝AD＋4AB·433AD－4AB

341→3→＝AD2－AB2＝3－3＝0 ，故选B. 316(2)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于(

) A．1

B．2

C．3

D．5 答案

A 解析

|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，

|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，

将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，

∴a·b＝1. 思维升华

(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．

(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．

跟踪演练2

(1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，→→→则PA·(PB＋PC)的最小值是(

) 34A．－2

B．－

C．－

D．－1 23答案

B B．0 D．7

解析

方法一

(解析法) 建立平面直角坐标系如图①所示，

则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，

B(－1,0)，C(1,0)．

设P点的坐标为(x，y)，

则PA＝(－x，3－y)，

→PB＝(－1－x，－y)，

→PC＝(1－x，－y)，

→→→∴PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－3y)＝2x2＋y－

图①

→323－

2433－＝－. ≥2×42当且仅当x＝0，y＝故选B. 方法二

(几何法) →→→→→→→→如图②所示，PB＋PC＝2PD(D为BC的中点)，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD. →→→→要使PA·PD最小，则PA与PD方向相反，即点P在线段AD上，则→→→→→→(2PA·PD)min＝－2|PA||PD|，问题转化为求|PA|·|PD|的最大值．

3→→→又|PA|＋|PD|＝|AD|＝2×＝3，

2→→→→|PA|＋|PD|2＝32＝3，

∴|PA||PD|≤224→→当且仅当|PA|＝|PD|时取等号，

33→→→→→∴[PA·(PB＋PC)]min＝(2PA·PD)min＝－2×＝－. 42故选B. 2π(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋32b|＝________. 答案

2 2π解析

因为|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝，

3

图②

33→→→时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－. 22

故a·b＝2cos〈a，b〉＝－1，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4＋4＝4，即|a＋2b|＝2. 热点三

平面向量与三角函数

平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．

例3

(2017·江苏)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

解

(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b，

所以－3cos x＝3sin x. 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，

故cos x≠0. 于是tan x＝－3. 35π又x∈[0，π]，所以x＝. 6(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－3) πx＋. ＝3cos x－3sin x＝23cos6ππ7π，，

因为x∈[0，π]，所以x＋∈666π3x＋≤，

从而－1≤cos62ππ于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；

66π5π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－23. 66思维升华

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

跟踪演练3

已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝(－cos x，－sin x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c)．

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

α2(2)若f ＝22，求sin α的值．

解

(1)因为a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，

c＝(－cos x，－sin x)，

所以b－c＝(sin x＋cos x，sin x－cos x)，

f(x)＝a·(b－c)＝sin x(sin x＋cos x)＋cos x(sin x－cos x) ＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x

π2x－. ＝sin 2x－cos 2x＝2sin4ππ3π当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

2423π7π即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)为减函数．

883π7πkπ＋，kπ＋，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间是88π2x－，

(2)由(1)知，f(x)＝2sin4α2又f ＝22，

ππ12α－＝，sinα－＝. 则2sin4242ππα－＋cos2α－＝1，

因为sin244π3α－＝±. 所以cos42ππα－＋

又sin α＝sin44ππππα－cos ＋cosα－sin ，

＝sin4444π3α－＝时，

所以当cos422＋61232sin α＝×＋×＝；

22224π3α－＝－时，

当cos422－61232sin α＝×－×＝. 22224综上，sin α＝2±6. 4

真题体验

1．(2017·北京改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

解析

方法一

由题意知|m|≠0，|n|≠0. 设m与n的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m＝λn，

则m与n反向共线，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|＜0. 当90°＜θ＜180°时，m·n＜0，此时不存在负数λ，使得m＝λn. 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．

方法二

∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴当λ＜0，n≠0时，m·n＜0. π反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉＜0⇔〈m，n〉∈2，π，当〈m，n〉π∈2，π时，m，n不共线．

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．

2．(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____________．

答案

3

3解析

由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e2e2＋e21－23e1·2

＝3－0＋1＝2. 同理|e1＋λe2|＝1＋λ2. 3e1－e2·e1＋λe2所以cos 60°＝

|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e2e2－λe21＋3λ－1e1·221＋λ23. 33－λ1＝＝，

21＋λ22解得λ＝

→→→→→3．(2017·天津)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，→→且AD·AE＝－4，则λ的值为________．

答案

3

11→→解析

由题意知|AB|＝3，|AC|＝2，

→→AB·AC＝3×2×cos 60°＝3，

→→→→2→AD＝AB＋BD＝AB＋BC

3→2→→1→2→＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，

333→→1→2→→→∴AD·AE＝3AB＋3AC·(λAC－AB) ＝＝λ－2→→1→22λ→2AB·AC－AB＋AC

333λ－212λ×3－×32＋×22

333113＝λ－5＝－4，解得λ＝. 311→→4．(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________．

答案

6 解析

方法一

根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．

→→→→AO·AP＝|AO||AP|cos θ，

→→|AO|＝2，|AP|＝x＋22＋y2，

→x＋2|AQ|cos θ＝＝22，

→x＋2＋y|AP|→→所以AO·AP＝2(x＋2)＝2x＋4. 点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．

→→所以AO·AP的最大值为2＋4＝6. 方法二

如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，

所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，

→→所以AO＝(2,0)，AP＝(cos α＋2，sin α)，

→→AO·AP＝2cos α＋4≤2＋4＝6，

当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．

押题预测

→1→1．如图，在△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中3→→→→线AM交DE于N，设AB＝a，AC＝b，用a，b表示向量AN，则AN等于(

) 1A.(a＋b)

21C.(a＋b)

61B.(a＋b) 31D.(a＋b) 8押题依据

平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．

答案

C 解析

因为DE∥BC，所以DN∥BM，

ANAD则△AND∽△AMB，所以＝. AMAB→1→因为AD＝AB，

3→1→所以AN＝AM. 3因为M为BC的中点，

→1→→1所以AM＝(AB＋AC)＝(a＋b)，

22→1→1所以AN＝AM＝(a＋b)．

36故选C. →→→→2．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于(

)

3A．－

41C．－

48B．－

94D．－

9

押题依据

数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．

答案

B →→→1解析

∵BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝，

38→→→→→→→→→→→→12∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝3＋0－1＝－. 9→→3．在△ABC中，AB＝(cos 32°，cos 58°)，BC＝(sin 60°sin 118°，sin

120°sin 208°)，则△ABC的面积为(

) 1A.

4C.3

23B.

8D.3

4押题依据

平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点．

答案

B →解析

|AB|＝cos232°＋cos258°

＝cos232°＋sin232°＝1，

33→BC＝cos 28°，－sin 28°，

22→所以|BC|＝3cos 28°2＋－3sin 28°2＝3. 22233→→则AB·BC＝cos 32°×cos 28°－sin 32°×sin 28°

22＝＝3(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) 2333cos(32°＋28°)＝cos 60°＝，

2243→→4AB·BC1→→故cos〈AB，BC〉＝＝＝. 2→→|AB||BC|1×32→→→→又〈AB，BC〉∈[0°，180°]，所以〈AB，BC〉＝60°，

→→故B＝180°－〈AB，BC〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC的面积为

1→→S＝·|AB|·|BC|sin B

2

133＝×1××sin 120°＝.故选B. 2284．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为AB上的动点，AB与OC交于点P，→→则OP·BP的最小值是________．

押题依据

本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中．

1答案

－

16→→→→→→→→→→→2解析

因为OP＝OB＋BP，所以OP·BP＝(OB＋BP)·BP＝OB·BP＋BP.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，

1→1→→→→→→→所以∠OBA＝60°，OB＝1.所以OB·BP＝|BP|cos 120°＝－|BP|.所以OP·BP＝－|BP|＋|BP|2＝2211→121→1→→|BP|－－≥－，当且仅当|BP|＝时，OP·BP取得最小值－. 41616416

A组

专题通关

1．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，→→→→则OA＋OB＋OC＋OD等于(

) →A.OM

→C．3OM

答案

D 解析

由已知，设AC与BD交于点M，

→→→→→→→→→→→→→→→OA＋OB＋OC＋OD＝OM＋MA＋OM＋MB＋OM＋MC＋OM＋MD＝4OM＋(MA＋MC)＋→→→(MB＋MD)＝4OM，故选D. 2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为(

) 11A．－

211B.

2→B．2OM

→D．4OM

29C．－

2答案

C 29D.

2解析

由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x) 4λ＝－2，λ＝－2，⇒⇒xλ＝7

1x＝－14

29⇒λ＋x＝－，故选C. 23．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(

) A.2

C．2

答案

C 解析

a＝(1，x)，b＝(－1，x)，

∴2a－b＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)，

由(2a－b)⊥b⇒3×(－1)＋x2＝0，

解得x＝－3或x＝3，

∴a＝(1，－3)或a＝(1，3)，

∴|a|＝12＋－32＝2或|a|＝12＋32＝2. 故选C. 4．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量n＝(3a＋c，sin B－sin A)，m＝(a＋b，sin C)，若m∥n，则角B的大小为(

) πA.

6πC.

3答案

B 解析

若m∥n，则(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(3a＋c)＝0，由正弦定理可得(a＋b)(b－a)－c(3a＋c)＝0，

化为a2＋c2－b2＝－3ac，

a2＋c2－b23∴cos B＝＝－. 2ac25π∵B∈(0，π)，∴B＝，故选B. 6→→5．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，若B＝2C，则向量BC在BA方向上的投影是(

) 7A．－

577C.

12577B．－

1257D.

55πB.

62πD.

3B.3 D．4

答案

B 解析

由正弦定理得

ACAB653＝⇒＝⇒cos C＝，

sin Bsin Csin 2Csin C5BC2＋AC2－AB211由余弦定理得cos C＝⇒BC＝或5，

2AC·BC511经检验知BC＝5不符合，舍去，所以BC＝，

5AB2＋BC2－AC27cos B＝＝－，

2AB·BC2577→则|BC|cos B＝－，故选B. 125→6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D在AB边上且满足CD＝→→tCA＋(1－t)CB，若∠ACD＝60°，则t的值为(

) A.C.3－1

23－2

2B.3－1 D.3＋1

2答案

A →→→→→解析

因为D在AB边上且满足CD＝tCA＋(1－t)CB，所以BD＝tBA，不妨设AC＝BC＝1，则AB＝2，AD＝2(1－t)，在△ACD中，∠ACD＝60°，∠CAD＝45°，则∠ADC＝75°，由21－t3－11正弦定理，得＝，解得t＝.故选A. sin 75°sin 60°2→→7．(2017·广东省广雅中学、江西省南昌二中联合测试)已知O是△ABC内部一点，OA＋OB＋→→→OC＝0，AB·AC＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(

) 1A.

2C.3

2B.3

32D.

3答案

B →→→解析

因为OA＋OB＋OC＝0，

→→→所以OA＋OB＝－OC，

所以O为△ABC的重心，

1所以△OBC的面积为△ABC的. 3→→→→因为AB·AC＝2，所以|AB||AC|cos∠BAC＝2，

→→因为∠BAC＝60°，所以|AB||AC|＝4，

1→→△ABC的面积为|AB||AC|sin∠BAC＝3，

2所以△OBC的面积为3，故选B. 3π→→→→0，8．已知向量OA＝(1,1)，OB＝(1，a)，其中O为原点，若向量OA与OB的夹角在区间12内变化，则实数a的取值范围是__________．

3答案

，3

3→→解析

因为OA＝(1,1)，OB＝(1，a)，

→→所以OA·OB＝1＋a. →→又OA·OB＝2·1＋a2cos θ，

故cos θ＝，

21＋a21＋aπ6＋20，，故cos θ∈因为θ∈，

124，1即∈21＋a21＋a6＋243，1，解得3≤a≤3. →→→→→9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA，OB，OC，〈OA，OB〉＝60°，→→→若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的最大值是______．

答案

23

3→→→解析

由已知条件OC＝mOA＋nOB，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn

，∴(m＋1n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋4n)2，当且仅当m＝n时取等号，

32323∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为. 43313cos x，－，函数10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m＝(sin x，－1)，向量n＝2f(x)＝(m＋n)·m. (1)求f(x)的单调递减区间；

(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝23，c＝4，且f(A)恰是π0，上的最大值，求A，b和△ABC的面积S. f(x)在2

解

(1)f(x)＝(m＋n)·m

1＝sin2x＋1＋3sin xcos x＋

2＝＝1－cos 2x31＋1＋sin 2x＋

22231sin 2x－cos 2x＋2 22π2x－＋2. ＝sin6ππ3π由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

262π5π得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

36π5πkπ＋，kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递减区间为36π2A－＋2，

(2)由(1)知f(A)＝sin6πππ5π0，时，－≤2x－≤，

当x∈2666ππ由正弦函数图象可知，当2x－＝时f(x)取得最大值3. 62πππ所以2A－＝，A＝. 623由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，

1得12＝b2＋16－2×4b×，所以b＝2. 211所以S＝bcsin A＝×2×4sin 60°＝23. 22B组

能力提高

→→11．(2017届江西上饶一模)已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD·PC的最小值为(

) A.6

23B.

2D.2 C．2

答案

B 解析

由面积为2可知，边长为2，在正方形中建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，

所以P(x,0)，其中x∈[0，2]，

→→所以PD·PC＝(－x，2)·(2－x，2)＝x2－2x＋2，

当x＝23时取得最小值，

22故选B. 12．(2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P→→→→→→为AB边上的点，AP＝λAB，若CP·AB≥PA·PB，则

λ的最大值是(

) A．1

C.2

22－2B.

2D.2 答案

A →→→→→→→→→→→→→→解析

因为CP＝AP－AC＝λAB－AC，PB＝AB－AP＝AB－λAB，故由CP·AB≥PA·PB，

122可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2，也即λ2－2λ≤－，解得1－≤λ≤1＋，222由于点P∈AB，

所以1－2≤λ≤1，故选A. 213．(2017届云南师大附中月考)已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，a•b＝b·c＝1，a•c＝2，则|a＋b＋c|的最小值是________．

答案

4 解析

不妨设a＝(1,0)，b＝(m，n)，c＝(p，q)，则m＝1，p＝2，b·c＝2＋nq＝1⇒nq＝－1，1n＝－，

q111，－，c＝(2，q)．|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·∴b＝b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋＋4＋q2＋2qq2＋2＋4 1＝14＋q2＋2≥14＋2＝16，

q∴|a＋b＋c|≥4，当且仅当q2＝1，即q＝±1时“＝”成立．

14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a＝(－1,0)，b＝(cos α，sin α)，c＝(cos β，sin β)．

(1)求|a＋c|的最大值；

π(2)若α＝，且向量b与向量(a＋c)垂直，求cos β的值．

4解

(1)a＋c＝(cos β－1，sin β)，

|a＋c|＝cos β－12＋sin2β＝2－2cos β，

当cos β＝－1时，|a＋c|＝2，|a＋c|的最大值为2. π22(2)若α＝，则b＝，，

422

a＋c＝(cos β－1，sin β)，

∵向量b与向量a＋c垂直，

∴22(cos β－1)＋sin β＝0，

22∴sin β＋cos β＝1，

故sin2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos2β，

cos2β－cos β＝0，

∴cos β＝0或1. 当cos β＝1时，sin β＝0，a＋c＝(0,0)不符合条件，

∴cos β＝0.