2.1.3 相等向量与共线向量第二课时教学实录

2.1.3 相等向量与共线向量

教材分析

本节内容是数学必修4

第二章

第一节的第二课，上一节介绍了向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量，本节介绍共线向量、相等向量等基本概念．本节课的教学重点是理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量；难点是从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．通过本节课的学习让学生明白向量不同于数量，它是一种新的量，在概念的理解学习上要充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解相等向量、共线向量的概念．

教学目标

重点:

理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量．

难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．

知识点：相等向量、共线向量概念的理解. 能力点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教育点：通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想. 自主探究点：向量共线与所对应点共线的不同. 考试点：正确理解平行向量、相等向量和共线向量的概念，并能区别. 易错易混点：向量共线则对应点是否共线. 拓展点：利用向量的方法证明直线与直线的平行问题．

教具准备 多媒体课件和三角板

课堂模式 学案导学

一、复习引入

问题1：向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？

【设计意图】复习回顾，便于学习新知．

【设计说明】学生回答．

引入：数学中，引进一个新的量后，为了进一步研究研究的需要，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．那么如何规定“相等向量”呢？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师指出相等向量正是我们接下来要探究的问题．

二、探究新知

探究一：相等向量

1

探究概念

思考1：因为向量完全由它的方向和模确定．对于两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 【设计意图】主要看学生考虑问题是否全面，培养学生数学思维的严谨性．

【设计说明】让学生通过思考讨论出四种情形．

思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模等与不等，方向同与不同的区别，那么我们如何规定两个向量相等？

【设计意图】结合问题1的分析，规定出相等向量的概念是非常自然的．

【设计说明】学生思考．

得出概念

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

说明：（1）向量a与b相等，记作a

=b； （2）零向量与零向量相等；

思考3:在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段是否表示同一个向量？

【设计意图】便于下面知识的说明．

【设计说明】学生口答．

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.【设计意图】加深对有向线段和向量的理解，便于学生正确理解相等向量的概念．

【设计说明】让学生独立思考，自己归纳总结．

理解概念

思考4：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

生：重合．

思考5：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

学生画图寻找答案

A

B C B D A

C

【设计意图】进一步理解相等向量的概念．

【设计说明】学生口答．

D 探究二：共线向量

探究概念

思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

生：方向相同或相反．

思考2：两个向量的关系是什么？

2

生：平行向量．

思考3：将向量平移，不改变其长度和方向．如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OA=a，OB=b,

OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

师生共同：

a

b B O C A

l

c

生：A、B、C三点共线．

师总结：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．

得出概念

共线向量：平行向量也叫共线向量．这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上．

理解概念

思考4：如果非零向量AB和CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

生：四点不一定共线．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

【设计意图】进一步理解平行向量、共线向量的概念，区别相应直线平行、共线．

【设计说明】让学生结合上图自己归纳总结．

三、理解新知

弄清相等向量、平行向量、共线向量三者间的关系：

1.平行向量就是共线向量．

2.相等向量一定是共线向量．

3.共线向量不一定是相等向量．

【设计意图】进一步理解相等向量、平行向量、共线向量三个概念，弄清它们的区别与联系．

【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．

四、运用新知

例1.

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量．师生活动：学生口答，教师板书．

B 解：OACBDO

C O A F E 

OBDC

OCABE

OD EDF

O变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

3

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

【设计意图】让学生巩固相等向量与共线向量的概念．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

例2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. (1)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

(2)不相等的两个向量一定不共线；

(3)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

(4)两个向量相等当且仅当它们的起点相同，终点相同共线的向量；

(5)若向量a与b共线，b与c共线,则向量a与c共线；

(6)在四边形ABCD中，向量AB＝DC当且仅当ABCD是平行四边形．

解：(1) 不正确．相等向量要求大小相等且方向相同，而共线向量方向可以相反．

(2) 不正确．方向相反的两个向量不相等但共线．

(3) 不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量在同一直线上．

(4) 不正确．如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同．

A B C (5) 不正确．共线向量即平行向量，规定零向量与任意向量平行，因此b可以是零向量．

(6) 正确．

引申：可利用向量的方法证明直线与直线的平行问题．

【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念．

【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．

五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：

1．知识：(1)相等向量的定义．

(1)共线向量的定义．

(3)相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系．

2．思想：数形结合的思想．

教师总结:

弄清相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系，并且明白平行向量、共线向量不是平面几何中的平行、共线问题．提醒学生：在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容“温故而知新”,．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．

【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

六、布置作业 1．书面作业

必做题：

1.P77-78习题2.1

A组

第3，4，5题

2.在四边形ABCD中，AB=DC，且|AB|=|AD|，判断四边形ABCD的形状．

4

选做题：

B组

第2题

2．课外思考

在四边形ABCD中，AB=DC，且|AC||BD|，则四边形ABCD是什么形状？

【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生进一步理解向量的有关概念，起到让学生课下探索发现、预习新课的作用．

七、教后反思

1.本教案的亮点是相等向量、共线向量的概念是在学生已有的知识基础上，通过观察、思考、总结、概括，并相互进行交流得出的，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是在学生独立思考后解决的，提高了学生理解问题的能力．

2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在概念的理解上下足功夫．

3.本节课的弱项是由于时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，没有很好的调动学生的积极性与主动性．

八、板书设计

5

2.1.3 相等向量与共线向量

一、知识点

(4)两个向量相等当且仅当它们的起点相同，终1．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

点相同共线的向量；

说明：（1）向量a与b相等，记作a

=b； (5)若向量a与b共线，b与c共线,则向量a与c共线；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条(6)在四边形ABCD中，向量AB＝DC当且仅有向线段表示，并且与有向线段的起点无关．

当ABCD是平行四边形．

2．共线向量：平行向量也叫共线向量．这是因为任一组

平行向量都可移到同一直线上．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两

平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一

直线上的线段的位置关系．

3．相等向量、平行向量、共线向量三者间的关系：

(1)平行向量就是共线向量；

三、课堂小结：

(2)相等向量一定是共线向量；

(3)共线向量不一定是相等向量．

二、应用

例1.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出

图中与向量OA、OB、OC相等的向量．

B 解：OACBDO

OBDCEO

OCABEDFO

变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？

例2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. (1)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

(2)不相等的两个向量一定不共线；

(3)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

A O F E 四、课后作业

1．书面作业

必做题：1. P77-78习题2.1

A组

第3，4，5题

2.在四边形ABCD中，AB=DC，且C D |AB|=|AD|，判断四边形ABCD的形状．

选做题：

B组

第2题

2．课外思考

在四边形ABCD中，AB=DC，且|AC||BD|，则四边形ABCD是什么形状？

6