2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案和课堂实录

2.3.1平面向量基本定理

课题

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

课型

新授课

1、了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

教学

目标

2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 重点

难点

教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教具

准备

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教学过程与教学内容

课时

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1课时

教学方法、教学手段与学法、学情

一、

复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；

[来源:Zxxk.Com]（2）λ>0时λ2．运算定律

结合律：λ(μ+)=λ+λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

)=(λμ)

；分配律：(λ+μ)=λ+μ，

λ(

与非零向量共线则：有且只有一个非零实数λ，3. 向量共线定理 向量使=λ.

二、 讲解新课：

1．思考：（1）给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，

-2，

（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ+λ21的向量表示？

，平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ2．探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

[来源:Z,xx,k.Com]1+λ2.[来源:学科网ZXXK]

(2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，3．讲解范例：

例1 已知向量， 求作向量2.5+3

，唯一确定的数量

例2 本题实质是

[来源:学科网4．练习1：

1）设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2 (λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2）已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系（Ｂ）

A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3）已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．(填共线或不共线). 5．向量的夹角:已知两个非零向量、，作＝，叫向量、的夹角，当=0°，、垂直，记作⊥，，则∠AOB同向，当=180°，、。

反向，当=90°，与6．平面向量的坐标表示

（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、量、作为基底.任作一个向量对实数、我们把，使轴方向相同的两个单位向，由平面向量基本定理知，有且只有一……1

…………2

叫做向量的（直角）坐标，记作轴上的坐标，叫做在其中叫做在轴上的坐标，2式叫做向量的. 特别地，，坐标表示.与．相等的向量的坐标也为，.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作唯一确定. 设的坐标，则向量也就是向量的坐标就是点，则点的位置由的坐标；反过来，点的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 7．讲解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．课堂练习：P100面第3题。

三、小结：

（1）平面向量基本定理； （2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：

板

书

2.3.1平面向量基本定理

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

一、平面向量基本定理

二、平面向量的正交分解和坐标的表示

三、讲解范例

教学

反思