2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学目标

§2.3.1

平面向量基本定理

§2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

学习目标：⒈理解向量数乘的意义，掌握向量的数乘与这个向量的模和方向之间的关系．

⒉掌握实数与向量数量积的运算律，并会用它们进行计算．

⒊理解两个向量共线的条件，会根据条件判定两个向量共线．

教学重点：平面向量基本定理、平面向量的坐标表示．

教学难点：平面向量基本定理．

教学方法：讲授、讨论式．

教具准备：用《几何画板》演示平面向量基本定理、向量的正交分解．

教学过程：

（Ⅰ）新课引入：

师：上节课，我们一起学习了向量的数乘运算，掌握了平面向量数乘的定义及运算律以及两向量共线的条件．

根据上述知识，给定平面内任意两个向量e1，e2，我们可以作出形如3e1+2e2、e1-2e2的向量．那么，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？

为了解决上面的问题，我们今天学***面向量基本定理及其应用．

（Ⅱ）讲授新课：

⒈平面向量基本定理

师：如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量．

在平面内任取一点O，作OAe1，过OBe2，OCa．点C作直线OB的平行线，交直线OA于点M；过点C作直线OA的平行线，交直线OB于点N．由向量线性运算的性质可知，存在实数1、使得OM1e1，由2，ON2e2．于OCOMON，所以a＝1e1+2e2．

也就是说，任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式．

另一方面，对于同一平面内两个不共线的向量e1、e2，如果有a＝1e1+2e2且a＝m1e1+m2e2，那么

1e1+2e2＝m1e1+m2e2，

∴

(1-m1)e1+＝(m2-2)e2．

由向量e1、e2不共线，得

1-m1＝m2-2＝0，1=m1且m2=2．

由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来；当e1、e2确定后，这种表示形式是唯一的．（用《几何画板》演示）我们得到了如下的平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2. 说明：⑴不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

⑵同一平面可以有不同的基底，关键是不共线的向量才可以作为基底；

⑶由此定理可将任一向量a对给定的基底e1、e2进行分解，并且这种分解的形式唯一确定．

⒉向量的夹角

师：不共线的向量有不同的方向，怎样来区别它们的位置呢？

生：我们可以用向量间的夹角来表示它们之间的位置关系．

师：这就需要我们来规定出两个向量夹角的意义：

OB(

已知两个非零向量a、b，作OAa，OBb，则A0180)叫做向量a与b的夹角．

说明：⑴在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. ⑵当θ＝0时，a与b同向；当θ＝180时，a与b反向．

⑶如果向量a与b的夹角是90，我们称a与b垂直，记a⊥b．

例1见课本P104．

⒊平面向量的正交分解

师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？

生：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的

压力F2．也就是说，重力G的的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．

师：物理学中，G=F1+F2叫做把重力G分解．

由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1e1、2e2，使a＝1e1+2e2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．

如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．

⒋平面向量的坐标表示

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj．

这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a＝(x,y)叫作向量的坐标表示. 根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i、j以及零向量的坐标表示是怎样的？

生：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)．

师：如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由向量a唯一确定．

设OAxi＋yj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．

有人说：直角坐标平面内向量a的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？

生：这种说法不正确．只有当向量a的始点是坐标原点时，向量的坐标才

是它的终点坐标．

师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系．

例2见课本P106．

说明：本题也可以利用各向量间关于坐标轴的对称关系求解. （Ⅲ）课后练习：课本P112习题2.3 B组 ⒋

（Ⅳ）课时小结: ⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．

⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．

⑶向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关，即一个向量平移到另一位置后，只要大小与方向不改变，则向量的坐标不变．

（Ⅴ）课后作业：

⒈课本P112习题2.3 B组 ⒊

⒉预习课本P106～P108，思考下列问题：

⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？

⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？

⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？

⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？

板书设计：

§2.3.1平面向量基本定理

§2.3.1平面向量的正交分解及坐标表示

⒈平面向量基本定理

⒈向量的正交分解

小结

⒉向量的夹角

⒉向量的坐标表示

预习提纲

教学后记: