2.3.1 变量之间的相关关系课堂实录【3】

2.3变量间的相关关系

三维目标

1．知识与技能

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系．

2．过程与方法

明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．

3．情感、态度与价值观

通过对事物之间相关关系的了解，

让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．

重点难点

重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；

(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．

难点：(1)变量之间相关关系的理解；

(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．

从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，

向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．

通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．

教学建议

结合本节课的教学内容和学生的认知水平，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．

本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“散点图”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，通过例题和变式训练进一步巩固本节知识，将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．

教学流程

创设问题情境引入问题：人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系？⇒

⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握线性回归方程的求法⇒研究现实生活中的实际问题，应用本节知识完成例3及变式能够对总体进行估计⇒⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正

(见学生用书第41页) 1.理解两个变量的相关关系的概念．(难点) 课标

解读

2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点) 4．相关关系与函数关系．(易混点)

变量间的相关关系

【问题导思】

下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：

施化肥量

水稻产量

15

320

20

330

25

360

30

410

35

460

40

470

45 480 1.将上述数据制成散点图．

【提示】

散点图如下：

2．施化肥量与水稻产量有关系吗？

【提示】

有关系．

1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．

2．散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．

3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．

回归直线方程

【问题导思】

一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

转速x(转/秒)

每小时生产有缺

陷的零件数y(件)

1.在平面直角坐标系中作出散点图．

【提示】

16

11

14

9

12

8

8 5

2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？

【提示】

有．

3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？

【提示】

可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．

1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

3．最小二乘法

求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

4．求回归方程

若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则所求的回归方程为

∧∧∧∧∧y＝bx＋a

，其中a，b为待定的参数，由最小二乘法得：

b＝

x－xa＝y－bx.n∧i＝1－－

xi－xyi－yxiyi－nxyi＝1n＝i＝12x2i－nxn，－ni＝1i2∧∧

∧∧b是回归直线斜率，a是回归直线在y轴上的截距．

线性相关关系的判断

例一、

以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：

房屋面积x(m2)

销售价格y(万元)

(1)画出数据对应的散点图；

(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？

【思路探究】

涉及两个变量房屋面积与销售价格，以房屋面积为自变量，考察销售价格的变化趋势从而做出判断．

【自主解答】

(1)数据对应的散点图如图所示：

115

24.8

110

21.6

80

19.4

135

29.2

105 22

(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．

规律方法

两个随机变量x和y相关关系的确定方法：

1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．

2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断．

3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．

变式训练

5个学生的数学和物理成绩如下表：

学生

成绩

学科

80

75

70

数学

70

66

68

物理

画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系．

65

64

60 62 A B C D E

【解】

以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系，且是正相关．

求回归直线方程

例二、

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：

零件数x(个)

加工时间y(分)

10

20

30

62

68

75

(1)y与x是否具有线性相关关系？

40

81

50

89

60

95

70

102

80

108

90

115

100122(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．

【思路探究】

画散点图→确定相关关系→

求回归直线系数→写回归直线方程

【自主解答】

(1)画散点图如下：

由上图可知y与x具有线性相关关系．

(2)列表、计算：

i xi

yi

1

10

62

620

2

20

68

160

3

30

75

250

4

40

81

340

5

50

89

4450

6

60

95

500

7

70

102

740

8

80

108

8 40

9

90

115

1050

10 100 122 12200 xiyi

x＝55，y＝91.7，

101022＝xi＝38 500，yi＝87 777，xiyi＝55 950 i＝1i＝1i＝110∧i＝1xiyi－10x

yxi2－10x∧10b＝10255 950－10×55×91.7＝≈0.668，

38 500－10×552i＝1∧a＝y－bx＝91.7－0.668×55＝54.96. ∧即所求的回归直线方程为：y＝0.668x＋54.96. 规律方法

用公式求回归方程的一般步骤：

1．列表xi，yi，xiyi；

2．计算x，yn2，∑＝

xi，∑＝

xiyi；

i1i1∧∧n3．代入公式计算b、a的值；

4．写出回归方程．

变式训练

从某一行业随机抽取12家企业，它们的生产产量与生产费用的数据如下表：

企业编号

产量x/台

费用y/万元

1

40

130

2

42

150

3

50

155

4

55

140

5

85

150

6

78

154

7

84

165

8

100

170

9

116

167

10

125

180

11

130

175

12 140 185 (1)绘制生产产量x和生产费用y的散点图；

(2)如果两个变量之间是线性相关关系，请用最小二乘法求出其回归直线方程．

【解】

(1)两个变量x和y之间的关系的散点图如图所示．

(2)根据散点图可知，两个变量x和y之间的关系是线性相关关系．下面用最小二乘法求回归直线方程．

1

40

130

5200

1600

2

42

150

6300

1764

3

50

155

7750

2500

4

55

140

7700

325

5

85

150

12750

7225

∧6

78

154

12012

6084

∧∧7

84

165

13860

7056

8

100

170

17000

10000

9

116

167

19372

13456

10

125

180

22500

15625

11

130

175

22750

16900

12

140

185

25900

19600

合111710x≈87.08，y≈160.1，nx

y＝167 298.096，nx2≈90 995.116 8 设所求的回归直线方程是y＝bx＋a，

∧i＝1xiyi－nx

yx2i－nxnn所以b＝2i＝1

＝＝∧173 094－167 298.096

104 835－90 995.116 85 795.904≈0.42，

13 839.883 2∧a＝y－bx＝160.1－0.42×87.08≈123.53.

∧所求的回归直线方程是y＝0.42x＋123.53.

利用回归方程对总体进行估计

例三、

(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

4

3

5

4

6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

∧∧∧(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

【思路探究】

(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角∧∧坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值；(3)实际上就是求当x＝100时，对应的y的值．

【自主解答】

(1)散点图，如图所示．

(2)由题意，得xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，

i＝14x＝y＝43＋4＋5＋6＝4.5，

42.5＋3＋4＋4.5＝3.5，

4i＝12222x2i＝3＋4＋5＋6＝86，

66.5－4×4.5×3.566.5－63∴b＝＝＝0.7，

86－4×4.5286－81∧∧∧a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

∧故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，

故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．

规律方法

1．回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．

2．只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．

变式训练

炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢

水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示：

x(0.01%)

y(分)

104

100

180

200

190

21

177

185

147

155

134

135

150

170

191

205

204

235

121125(1)作出散点图，判断冶炼时间y对钢水含碳量x是否线性相关；

(2)求回归直线方程；

(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时应冶炼多少分钟．

【解】

(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示．

从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．

(2)列表如下：

1

104

100

10400

2

180

200

36000

3

190

210

39900

4

177

185

32745

5

147

155

22785

6

134

135

18090

7

150

170

25500

8

191

205

39155

9

204

235

47940

i xi

yi

yi

10 1211251512x＝159.8，y＝172，

i＝1x2i＝265 448，xiyi＝287 640 i＝1∧∧∧1010

设所求的回归直线方程为y＝bx＋a.

∧i＝1xiyi－10x

yxi2－10x10210b＝287 640－10×159.8×172＝

265 448－10×159.82i＝1≈1.27，

∧∧a＝y－bx≈172－1.27×159.8≈－30.95，

∧即所求的回归直线方程为y＝1.27x－30.95. ∧(3)当x＝160时，y＝1.27×160－30.95≈172(分)，即大约冶炼172分钟.

数形结合在线性相关性中的应用

典例、

(12分)下表数据是退水温度x(℃)对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．

x(℃)

y(%)

300

40

400

50

500

55

600

60

700

67

800 70 (1)画出散点图；

(2)指出x，y是否线性相关；

(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；

(4)估计退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性的情况．

【思路点拨】

根据所给数据画出散点图，然后可借助函数的思想分析．

【规范解答】

(1)散点图如图所示．

4分

(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关. (3)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．

i xi

yi

xiyi

x2i

1

300

40

12000

90000

2

400

50

20000

160000

3

500

55

27500

250000

4

600

60

36000

360000

5

700

67

46900

490000

6 800 70 56000 640000 x＝550，y＝57，

62xi＝1 990 000，xiyi＝198 400 i＝1i＝16于是可得：

∧i＝1xiyi－6x

yxi2－6x626b＝198 400－6×550×57＝

1 990 000－6×5502i＝1≈0.058 857，

∧∧

a＝y－bx＝57－0.058 857×550＝24.628 65.9分

∧因此所求的线性回归方程为y＝0.058 857x＋24.628 65.

∧

(4)将x＝1 000代入回归方程得y＝0.058 857×1 000＋24.628 65＝83.486，即退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性大约是83.486%. 思维启迪

1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．

2．利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．

小结

1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．

2．求回归直线方程时应注意的问题

(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出

回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．

∧∧∧∧(2)用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a. 3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归∧∧∧∧∧∧直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a. 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．

当堂双基达标

1．下列变量之间的关系是相关关系的是(

) A．正方体的表面积与体积

B．光照时间与果树产量

C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间

D．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩

【解析】

A、C是函数关系，D无相关关系．

【答案】

B ∧2．设一个回归方程y＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(

) A．y平均增加1.2个单位

B．y平均增加3个单位

C．y平均减少1.2个单位

D．y平均减少3个单位

【解析】

由b＝1.2>0，故选A. 【答案】

A ∧3．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为y＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．

∧【解析】

当x＝80时，y＝400＋250＝650. 【答案】

650 4．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表对应数据：

x y 10

1

15

1.3

17

1.8

20

2

25

2.6

28

2.7

32 3.3 (1)画出散点图；

(2)判断y与x是否具有线性相关关系．

【解】

(1)散点图如下：

(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.