2.1.2 向量的几何表示优质教案设计

向量的几何表示教学设计

2.1.2 向量的几何表示

一、教学内容分析

本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第二节平面向量的表示，所需课时为1课时。

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

二、学情分析

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三、教学目标

（一））知识与能力：

理解向量、零向量、向量的模、单位向量的概念；

理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

了解平行向量、相等向量的概念及表示法。

（二））过程与方法：

学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决。

（三））情感态度与价值观：

1、有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，

使其产生热爱数学学习的积极心理；

2、努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；

3、通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念。

四、教学重难点

教学重点：

重点是向量的概念、相等向量的概念以及向量的几何表示。

教学难点：

难点是正确理解向量的概念和共线向量的概念。

五、教学过程

（一）、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上

都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。

对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。

有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向.具有方向的线段叫做有向线段。

有向线段的三个要素：起点、方向、长度。

1、向量的几何表示：用有向线段表示。

向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|。

长度为0的向量叫做零向量，记作0。

长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

思考: “向量就是有向线段,有向线段就是向量.”的说法对吗? 2、向量的字母表示：

（1）a

,

b

,

c ,

. . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母

表示，例如，AB，CD。

两个特殊的向量：

零向量——长度（模）为0的向量，记作注意0

。

0

0的区别; 0的方向是任意的。

单位向量——长度（模）为1个单位长度的

向量叫做单位向量。

例1：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是，因为零上零下也只是大小之分。

例2：

与

是否同一向量？

答：不是同一向量。

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

如图所示，

a//b//ca//0。

规定：

零向量与任一向量平行，即对于任一向量

，都有

例3：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？是否都平行？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等，不是都平行。

六、课堂小结

（一）平面向量的基本概念

1.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。

注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可。

2.向量的表示

①用一个小写字母表示向量，如

，

等；

②用有向线段表示向量，以A为起点,B为终点的向量记为，

（注意起点写在前面、终点写在后面）

AB的大小，称作向量的模

注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小。

4．零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作

．

注：①AB．单位向量

长度等于１个单位的向量，叫做单位向量。

课堂练习问答：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的时候当且仅当什么？

判断1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量

2.向量的模是一个正实数（

）

3.若|a|>|b| ，则a > b 注:向量不能比较大小

长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，

但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量

，

，

＞

，或

＜

”这种说法是错误的。

七、课后问题

数量可以比较大小，那么，向量共线如何定义呢？是否和线段共线一样呢？

请听下一讲！

请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？

你还有其他什么收获？应该注意哪些事项？（经过学生短暂梳理，小组发言）

八、教学反思

在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼。

当同学们能将向量正确的几何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。