探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期全国优秀课堂实录

《同角三角函数的基本关系式》说课稿

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节内容处在整个三角函数部分的引入阶段，与上一节《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》关系非常密切，它不仅是建立在上一节内容的基础之上，同时学好本节内容更能进一步巩固上一节内容，该节是三角函数这一章的重点，也是整个三角函数部分的重要内容之一。运用同角三角函数的两个基本关系式既可以解决实际生活中的一些问题，还可以为更好的学习专业课打下良好的基础。

2、教学目标

根据本节教学内容，结合学生现有知识水平和理解水平，我确定本节课的教学目标如下：

知识目标：熟练掌握同角三角函数的两个基本关系式

能力目标：

（1）已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三

角函数值；

（2）通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感目标：

（1）利用本节课所学知识解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；

（2）通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识。

3、通过对教材内容的分析，考虑学生现有认知结构，我确定本节课的教学重点为已知一个三角函数值，求其他的三角函数值；教学难点为应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定。各象限角的三角函数值的正负号的判断是突破难点的关键。

二、学情分析

我的教学对象为一年级的学生，他们具有一定的分析和理解能力，但他们数学基础相对比较薄弱，缺乏知识的衔接能力；在接受新知识方面仍依赖于感性事物，靠直觉去认识。

三、教法与学法

针对学生的此种情况，我采用的教学方法有：引导探究法、小组讨论法、观察体验法、讲练结合法等。在学法上，我强调学生主体意识，以学生自主探究为主，让学生变被动的接受知识为主动的索取知识；通过观察、猜测、分析、归纳来推导出新知识，让学生主动参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。

四、教学过程设计

我的教学过程分为五个环节，每个环节时间安排如下：

1、复习导入

引入新知（10分钟）

首先，我用多媒体出示以下三个问题，让全班学生进行思考：

（1）特殊角以及界限角的三角函数值

（2）角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义如何表示？

（3）各象限角的三角函数值的正负号的判断口诀

（1）我用多媒体出示如下表格，由三个学生回答特殊角以及界限角的三角函数- 1 -

值





sin

cos

30

45

60



33

20

90



2180

270

360

2



612

42

22

20 0 1 0 

3

2

1 0 不存在

0 -1 0 -1 0 不存在

0 1 0 3

23

31

2tan

1 3

设计意图：复习此知识点的目的是为了让学生观察表格中数字之间的关系，从而得出同角三角函数的基本关系式。

（2）我用多媒体出示图①，由两个同学回答出任意角三角函数定义。 yxysincostany

r r x 设计意图：复习此知识点的目的是为了让学生从三角P(x,y) 函数的定义中探索他们之间存在一定的联系，从而得r

出同角三角函数的基本关系式。



x

（3）由一个学生回答出各象限角的三角函数值的正负M

O

号判断口诀。

图①

一全正，二正弦，三正切，四余弦。

设计意图：复习此知识点的目的是为了突破本节课的难点。

此时，将学生分成两组，分别讨论投影中所给出的两个问题：

第一组学生通过问题一中的表格来观察他们之间存在什么样的关系；

第二组学生用任意角的三角函数的定义探究他们之间存在什么样的关系。

在学生讨论时，我在教室巡视，关注学生探究情况，同时可以适当引导。在整个讨论过程中我对学生的探讨结果给予肯定和赞赏。

设计意图：分组讨论是为了让学生充分感受到发现问题和解决问题所带来的愉悦。在合作探究的过程中，增强学生的合作意识和团队精神。

2、动脑思考

探索新知（10分钟）

为了检验学生的讨论结果，下面，师生通过单位圆来共同验证。从而得出同角三角函数的两个基本关系式。

设角的终边与单位圆的交点为P(x,y)，如图（1）所示：

那么sinyxy

cosx

11即角的正弦值等于它的终边与单位圆交点P的纵坐标；角的余弦值等于它的终边与单位圆交点P的横坐标。因此，角的终边与单位圆的交点P的坐标为(cos,sin)，如图（2）所示：

- 2 -

（1）

（2）

观察单位圆（如图（2））：由于角的终边与单位圆的交点为P(cos,sin)，根据三角函数的定义和勾股定理，可以得到

tanysin，

sin2cos2r21．

xcos通过角的终边与单位圆的交点为P(cos,sin)，根据三角函数的定义和勾股定理，可以得到同角三角函数的两个基本关系式

平方关系：sin2cos21

商数关系：tansin

cos设计意图：之所以用单位圆来研究同角三角函数的基本关系式是因为学生对勾股定理比较熟悉，同时通过图形可以很直观的看出他们之间的关系，另外知道角的终边与单位圆的交点为pcos,sin，是学习同角三角函数关系式的基础，也是学习诱导公式的基础。

在学生讨论的过程中，第一组向我提出一个问题“正切在什么情况下不存在”我给予解答，并用多媒体出示在公式运用中应注意的问题。

注意：

（1）公式中的角可以以其他形式出现，但必须是以相同的形式以保证同角。如：sin2的。

2（2）掌握公式的变形。公式sin2cos21可变形为sin21cos；

22cos21

sin22cos221

要提醒学生sincos1是错误22cos21sin2；sin1cos2；cos1sin2。公式tansin可cos变形为sintancos

（3）商数关系中注意限制条件。即cos0，k3、巩固知识

典型例题（15分钟）

例1 设坡角为，如果tan0.75，小明沿着斜坡走了10米，则他升高了多少- 3 - 2，kZ

米?

sin0.75

cos

分析：想知道小明升高了多少米，就需要求出坡角的正弦值。

解：



tan

sin2cos21



sin3

536

m 5则小明升高了

10sin10答：小明沿着斜坡走了10m，他升高了6m。

例1先由师生共同分析，然后教师板书过程，给出答案。

设计意图：这一例题的讲解使学生感受到数学知识与实际生活之间的密切联系，同时使学生对同角三角函数的基本关系式的应用有了初步的了解。

例2已知sin，且是第二象限的角, 求cos和tan．

分析

知道正弦函数值，可以利用平方关系，求出余弦函数值；然后利用商数关系，求出正切函数值．

解：

由sin2cos21，可得cos1sin2．

又因为是第二象限的角，故cos0．所以

cos1sin21()2

4sin4

tan5=．

cos335453545例2先由学生独立思考后，由一学生起来回答其解题思路，我板书配合。然后给出评价，并对解题过程的规范性提出要求，最后小结已知一个角的正弦值，求另外两个三角函数值的方法。（知一求二）

- 4 -

设计意图：通过例题的求解，让学生加深对关系式的理解，并进一步掌握关系式在解题中的应用，突出了本节课的重点。通过板书，培养学生解题规范的习惯。

提问：如果

“去掉例2中‘为第二象限的角的条件’，结果会产生什么变化”？把此题作为本节课的第1个课堂练习题。提出此问题后，学生先自己思考，然后教师做以下引导：对此问题需要进行讨论。讨论时，首先根据已知条件4sin0，可以确定角为第一或第二象限的角，然后就为第一象限的角5或为第二象限的角分别求出cos和tan。最后让学生在练习本上写出答案，并由两个学生在黑板上板书出结果，我作出点评。

设计意图：引导学生自主探索，亲自体验解题思路的形成过程，学会分析问题，解决问题的方法，同时使本节课的难点得以突破。

4、运用知识

强化练习（8分钟）

(1) 已知sin，求cos和tan

（2）已知tanα＝－2，求45sincos的值. sincos5、归纳小结

布置作业（2分钟）

本节课从特殊角和界限角的三角函数值的计算、观察、找出规律，进而尝试用三角函数的定义推导出正弦函数，余弦函数和正切函数的关系，然后用单位圆给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式。又通过例题和课堂练习介绍了公式在实际生活、求值和专业知识等方面的应用，两个基本关系式是三角函数的基础，希望同学们加深理解，灵活运用。

通过多媒体展示本节课的作业：

4，且是第四象限的角，求cos和tan

5122. 已知cos，求sin和tan

131．已知sin3. 已知tan1，且是第四象限的角，求sin和cos

设计意图：作业设置紧扣本节课的教学目标和重点。（知一求二）

板书设计：在教学中我把黑板分为三部分，把知识要点写在左侧，中间知识推导过程，右边实例应用。

同角三角函数的基本关系式

一、同角三角函数的基本关系式

1.平方关系：sin2cos21

sin2.商数关系：tan

cos二、推导过程

三、例题讲解

例1 例2 - 5 -

五、教学效果反思

1.采用小组讨论法，激发了学生的学习热情，因此80%以上的学生参与课堂的主动性都有所增强。

2.学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用初学时一部分学生感到困难，经多媒体演示、例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。

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