2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计和教学实录

一、内容和内容解析

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有其深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。本节课是高中新课标必修④第二章向量中第三节平面向量基本定理基础上紧接着学习的内容，包括平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算。它是平面向量基本定理的应用，在平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，使向量兼具“形”“数”两方面特征，从而为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，同时为后续学***面向量的数量积奠定了基础。

其中：平面向量的正交分解是平面向量基本定理的深入，同时为平面向量坐标表示奠定理论基础；

向量的坐标表示既是平面向量基本定理的深化，又是实现向量坐标运算的基础，在学习了向量的坐标表示的定义之后，建立了向量的坐标与点的坐标的联系，实现了新旧知识的转化，便于学生全面把握向量的坐标概念；

有了向量的坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为数量运算，从而简化了思维过程。

引入向量的坐标运算，使几何问题代数化，实现“有效能算”思想，因此熟练掌握平面向量的坐标运算是本课的教学重点。

二、目标与目标解析

1、 理解平面向量的正交分解概念

2、理解与掌握平面向量的坐标概念

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点、终点坐标之间的关系

3、掌握平面向量的坐标运算

（1）能正确理解向量加、减法及数乘向量的坐标运算法则

（2）能熟练进行向量的坐标运算

三、教学问题诊断分析

学生在理解向量的坐标表示时会出现障碍，主要表现在：

1、向量和点都可以用坐标表示，易将向量的坐标与点的坐标相混淆。

2、对“相等向量的坐标相等”的理解不到位，特别是由有向线段表示的相等向量坐标间的关系。

其原因是：在学习向量坐标表示之前，学生已经理解点的坐标概念及其意义，明确了点的坐标与点在直角坐标系中的具体位置有关，受思维定势的影响，学生认为向量的坐标是由表示向量的有向线段在平面直角坐标系中具体位置确定的，还有学生将向量和表示向量的有向线段相混淆，从而产生对向量坐标表示意义理解的偏差。

因此，对向量的坐标表示意义的理解是本课的教学难点。

四、学习行为分析

为了理解向量正交分解的概念和意义，在复***面向量基本定理的基础上，让学生寻找基本定理在物理学中作用的例子，感受向量正交分解的现实背景。

由于向量是一个抽象了的概念，学习向量的坐标表示时，仍要注意与向量的几何表示——有向线段联系起来，便于直观理解。同时，为防止学生对向量坐标表示理解的偏差，学习中要遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。通过对例题及变式的思考训练加深概念的理解，感悟向量与其坐标间的一一对应关系。

在探究平面向量的坐标运算法则中，先让学生回顾平面向量运算法则和运算律，通过自主探究与合作交流，促使学生对向量坐标运算法则的理解与记忆，再通过对具体问题的思考与训练，使学生能熟练进行向量的坐标运算，体会向量的“能算有效”性。

五、教学支持条件分析

为了直观理解向量坐标表示的意义，教学中可借助多媒体特别是几何画板软件展示向量几何表示与坐标表示的关系。在向量坐标运算中可利用实物投影仪展示学生的各种解法，有利于发现解题过程中的问题，总结解题规律。

六、教学过程设计

教学流程

正交

分解

复

习

回

顾

坐

标

表

示

坐

标

运算

归纳总结