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第二章

平面向量----小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos= x1x2y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

过程与方法：

通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学

生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

2222二、重点难点 重点：平面向量的基本概念和基本解题方法

难点：知识的综合运用能力

三、教材与学情分析

平面向量部分有许多新的概念和独特的运算体系，学生掌握较为困难。在复习中一方面再次澄清基本概念，熟悉运算方法。同时从本章知识的整体上来理解和把握，在具体问题解决中加深理解和知识的综合运用能力。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

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（一）知识梳理、构建网络

1．平面向量的基本概念

主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查，往往一些学生只求出一个而遗漏另一个．

2．向量的线性运算

主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．

3．向量的坐标运算

主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．

4．平面向量的数量积

平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．

5．平面向量的应用

一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一

些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题. （二）典例解析、归纳提升

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专题一

向量的共线问题

运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|；(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．

【例1】

设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量→→AB＝i－2j，BC＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．

→→解

法一

假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即AB∥BC，

λ＝1，→→∴存在实数λ，使AB＝λBC，i－2j＝λ(i＋mj)，

λm＝－2，

∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

法二

假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，

→∴AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，

→→→BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即AB∥BC，故1·m－1·(－2)＝0，

解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

【例2】

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．

解

法一

向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．

λ＝－2，k－6＝14λ，∴解得2k＋4＝－4λ，

1k＝－1.

∴实数k的值为－1. 法二

∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

ka＋2b与2a－4b平行，∴(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1. 专题二

向量的夹角及垂直问题

1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：

a·b(1)cos θ＝，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模．

|a||b|(2)cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1x2＋y2，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标．

2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．

3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．

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【例3】

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

→→(1)证明

∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．

→→→→∵AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB⊥AD，即AB⊥AD. →→→→(2)解

∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC. →设C点坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)，

x＋1＝1，x＝0，∴解得∴点C坐标为(0,5)．

y－4＝1.y＝5.

→→→→→→从而AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，且|AC|＝25，|BD|＝25，AC·BD＝8＋8＝16，

→→AC·BD164→→设AC与BD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. →→205|AC|·|BD|4∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为. 5【例4】已知向量a＝(4，－2)，b＝(x,1)．

(1)若a，b共线，求x的值；

(2)若a⊥b，求x的值；

(3)当x＝2时，求a与b夹角θ的余弦值．

解

(1)∵a，b共线，∴－2x＝4.∴x＝－2. 1(2)∵a⊥b，∴4x－2＝0.∴x＝. 2a·b63(3)当x＝2时，a·b＝6，|a|＝20，|b|＝5.∴cos θ＝＝＝. |a||b|20×55专题三

向量的长度(模)与距离的问题

向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|＝x2＋y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．

【例5】

设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．

1解

法一

∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝. 31∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×＋1＝12.∴|3a＋b|＝23. 3222法二

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y1＝x2＋y2＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴|3a－2b|＝3x1－2x22＋3y1－2y221＝3.∴x1x2＋y1y2＝. 34

∴|3a＋b|＝x1＋x22＋y1＋y22＝

19＋1＋6×＝23. 3专题四

平面向量与函数的综合问题

平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，因此以平面向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识网络的构建，有力地考查了学生的综合能力．

【例6】

设0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|. 解

f(x)＝1－sin22x－|a|sin x－|b|＝－sin x＋|a|22＋|a|4－|b|＋1. |a||a|2∵0<|a|≤2，∴当sin x＝－2时，4－|b|＋1＝0；

当sin x＝1时，－|a|－|b|＝－4.由|a|24－|b|＋1＝0，得a|＝2，－|a|－|b|＝－4

||b|＝22.

∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42，

∴|a＋b|＝8＋42＝22＋2. 六、课堂小结

1．平面向量的基本概念

2．向量的线性运算

3．向量的坐标运算

4．平面向量的数量积

5．平面向量的应用

七、课后作业

1.课时练与测

八、教学反思

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