探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期课堂实录【1】

函数y＝asin（ωx＋φ）的图象6典型例题

函数图象例题分析

［例1］由图4—14所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）

（｜φ｜＜π）的表达式. 选题意图：考查数形结合的思想方法. 解：由图象可知A＝2 又（－

，0）为五点作图的第一个点

因此2×（－

）＋φ＝0，∴φ＝ 因此所求函数表达式为y＝2sin(2x＋

) 说明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的过程中，A由函数的最值确定，ω由函数的周期确定，φ可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定. ［例2］函数y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜选题意图：考查数形结合的思想方法. 解：由函数图象可知A＝1 函数的周期为T＝2［3－（－1）］＝8，即

＝8 ∴ω＝ 又(－1，1)为“五点法”作图的第二个点

即

（－1）＋φ＝

，∴φ＝ ∴所求函数表达式为y＝sin（

x＋

）

说明：如果利用点(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象上，得到

，则很难确定函数关系式中的A、ω、φ.

［例3］如图4—16，已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜ 的图象，那么

A.ω＝

，φ＝ B.ω＝

，φ＝－ C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝－ 选题意图：考查数形结合的思想方法. 解：由(0，1)点在函数的图象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜ ∴φ＝ 又( ，0)是“五点法”作图的第五个点

因此ω• ＝2π，解得ω＝2. 答案：C 说明：在本题求ω的过程中，若利用( ，0)在图象上，即sin（

ω＋

）＝0，则求出ω＝2或ω＝

，很难判断我们所要选择的答案，因此图象上点的坐标适合关系式一定要慎重使用. ［例4］画出函数

，

的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到此函数的图像．

解：函数

的周期T= ，先画出它在长度为

的闭区间上的简图．

列表

X 0 2 0 －2 0 描点画图：描点，连接，根据这五个关键点画出函数

．

的简图（图4-37）

利用函数的周期性，可以把得到的在闭区间

上的简图向左，右分别扩展，从而得到函数：

．

R的简图．

＜π）的图象如图4—15，求函数的表达式.

函数

R的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到：

（1）先把

的图像上所有的点向右平行移动

个单位，得到

的图像；再把

的图像上的所有的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到

的图像．

（2）先把函数

的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数

的图像；再把

的图像上所有的点向右平行移动

个单位，得到

的图像．

评析：比较函数

的图像和

图像，容易发现，对于

的图像上每一点

，在

的图像上总存在唯一一点

和它对应，因此

，

R的图像．可以看作是先把正弦曲线上所有的点向右平行移动

个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）再把所得各点向右平行移动

个单位长度而得到．变换的次序可以改变．

一般有，函数

．

R，

的图像，可以看作是用下面的两种方法得到的：

（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当

时）时或向右（当

时）平行移动

个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当

）到原来的A倍（横坐标不变）

（2）先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当

）到原来的A倍（横坐标不变），再把所得各点向左（（当

）时）或向右（当

时）平行移动

个单位长度．

［例5］画出函数

R的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到该函数的图像．

解：函数

的周期

，先画出它在长度为

的闭区间上的简图．

列表：

X 0 1 0 －1 0 描点画图：描点、连接，根据五个关键点画出函数

的简图，如图4-38所示．

利用函数的周期性，把它在

上的简图向左、右分别扩展，就得到函数

R的简图．

函数

R的图像可以由正弦曲线经过下面的两种方式的变换得到：

（1）先把

图像上所有的点向左平行移动

个单位长度，得到

的图像；再把

的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），得到

的图像．

（2）先把

的图像上所有点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），得到

的图像；再把

的图像上所有的点向左平行移动

个单位长度，得到 的图像．

评析：比较函数

的图像与

的图像，不难看出，对于

的图像上每一点

，在

的图像上总存在唯一一点

和它对应，因此

的图像，可以看作是先把正弦曲线上所有的点向左平行移动

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变）而得到的；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变）再把所得各点向左平行移动

个单位而得到的．（变换次序可以改变）．

注意：在由

的图像变换成

的图像时，因为

中的

与2x中的x相对应，所以平移的是

个单位，而不是

个单位．（这里是学生经常出现错误的地方，必须设法避免）．

一般地，函数

R 的图像，可以看作是用下面两种方法得到的：

（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当

时）或向右（当

时）平行移动

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当

时）或伸长（当

时）到原来的

倍（纵坐标不变）．

（2）先把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当

时）或伸长（当

时）到原来的

倍（纵坐标不变），再把所得各点向左（当

时）或向右（当

时）平行移动

个单位长度．

说明：讲例2和例3两题的目的有二：一是把本节课的知识引伸，二是为下节课作好准备，这样处理

教学内容虽然本节课的难点增加了，难度加大了，但下一节课的难点分散了，难度降低了，实践证明这样做可以收到较好的教学效果，便于学生理解和掌握．

［例6］将余弦曲线

上每一点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的

倍，再将所得图像向右平移

个单位，所得函数图像的一个解析式为___________________．

解一：先把

的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到

的图像；再把

的图像上所有的点向右平移

个单位，得到

的图像．所求的解析式为

．

解二：先把

的图像上的所有的点向右平移

个单位，得到

的图像；再把

的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变），得到

的图像，因此所求的解析式为 . ［例7］把函数

的图像上的每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移

个单位，所得到的曲线的解析式为

，求

的一个解析式．

分析：这个问题实际上是对

的图像实施逆向变换得到

的图像．

解：先把曲线

上所有的点向右平移

个单位，得到曲线

；

再把曲线

上所有的点的横坐标变为原来的

倍（纵坐标不变）以，得到曲线

．因此，所求解析式为

．

［例8］将正弦函数

的图像向左平移

个单位，再将所得图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，所得图像的解析式为_______________________．

解： 先把

的图像向左平移

个单位，得到

的图像，再把

的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到

的图像．因而所求的解析式为 . ［例9］为了由函数

的图像得到函数

的图像，只要将函数

的图像

( )

（A）向左平移

个单位

（B）向右平移

个单位

（C）向左平移

个单位

（D）向右平移

个单位．

解一：∵ 将

的图像向左平移

个单位，得到

的图像；再将

的图像向左平移

个单位，得到

的图像．于是，把

的图像向左平移

个单位，就得到

的图像．故选（A）

解二：令 得 令 得 点

和点

是函数

的图像上和函数

的图像上的对应点，平移方向从点

点

，所以向左平移

个单位．

［例10］说明函数

的图像经过怎样的变换就得到函数

的图像．

分析：因为由

的图像变换到函数

的图像有如下两种方法．

（1）把函数

的图像上所有的点向右平移

个单位，再把所得各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），就得到函数

的图像．

（2）把函数

的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平移

个单位，就得到函数

的图像．

分别作以上两种方法的逆向变换，就可以得到由函数

的图像变换成函数

的图像的方法．

解：（1）把函数

的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移

个单位，就得到

的图像．

（2）把函数

的图像上所有的点向左平移

个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变），就得到

的图像．

评析：用作逆向变换的方法，可以得到由函数

R 的图像及函数

R 的图像变换到正弦曲线

R的方法．这可让学生叙述．

说明：以上例题的讲解，都要注意以下几点：①让学生体会得三个参数

中有两个变化就引起图像进

行两种变换，进一步强化每个参数对图像变化的影响；②讲例题时仍然要坚持“数形结合”的思想，强化学生的“数”与“形”的相互联系相互制约的意识；③让学生掌握凡是用“图像变换法”画出的图像和解出的问题是否正确，都可以用“五点法”的方法进行检验．