构建知识体系教学内容概述

课题

第17章

勾股定理

构建知识体系

(人教版八年级下册) 课型

题组式复习课(建构知识体系) 目标

1.

经历题组训练建构知识体系. 2.

经历题组训练和知识体系建构加强对知识、方法的理解. 3.

经历题组训练提高分析问题和解决问题的能力. 4.

经历题组训练培养创新意识和应用意识. 重点

梳理知识脉络，构建知识体系

难点

构建完整的、条理清晰的知识体系

教法

任务驱动，指导合作，共同建构

学法

归纳总结，提炼概括

流程

一、布置任务

本节课，大家通过一组题目的训练，师生共同建构第17章勾股定理这一章的知识体系. 二、教师作出本章思维导图的基本框架

这一章，是勾股定理，我们研究了勾股定理，也知道了互逆命题，如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题，它也一个定理，我们把这两个定理叫做互逆定理，同时教师作出本章思维导图的基本框架. 三、题组训练，构建知识体系(完善本章思维导图)

1.

如图，△ABC和△BDE是一对全等的三角形，点C、B、E在一条直线上，1876年，美国总统伽菲尔德利用这幅图证明了一条定理，也验证了一个公式，请填出他所验证的公式：

a2b2c2

.

DAaCcbcbBaE

解：可推出∠ABD = 90°，S梯形ACED = 2S△ABC + S△ABD，

∴111(ab)22abc2，(ab)22abc2，a22abb22abc2，

222

∴a2b2c2. 〖设计意图〗导出勾股定理的验证(证明)

2.

(凉山) 已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为

. 〖设计意图〗1、导出勾股定理的应用1：已知直角三角形两边长求第三边长

2、渗透分类讨论思想

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3.

如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，CD⊥AB，若AB = 10，BC = 8，则CD =

4.8

.

AD

B

C〖设计意图〗

获得解题经验1：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.

4.

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD的长.

解：在Rt△ABC中，∵AC = 6，BC = 8，

∴AB =AC2BC2628210.

由折叠得AE = AC = 6，CD = DE.

∴BE = AB﹣AE = 10﹣6 = 4.

设CD = DE = x，则BD = 8x.

在Rt△DEB中，DE2BE2BD2，∴x242(8x)2，

解得x = 3，∴CD = 3. 〖设计意图〗1、导出勾股定理的应用2：在直角三角形中，设未知数，利用勾股定理列方程求边长. 2、渗透方程思想

5.

(珠海) 如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1= 90°，OA = 1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，… 则OA4的长度为

4

.

〖设计意图〗获得解题经验2：含45°角的直角三角形的三边的比为1：1：2；含30°角的直角三角形的三边的比为1：3：3. 6.

如图所示，数轴上点C所表示的数为a，则a的值是

5

. B-3C1-2-1A01

〖设计意图〗1、导出勾股定理的应用3：在数轴上表示无理数

2、渗透数形结合思想方法

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7.

※(昆明) 如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是

20

cm(π取3).

〖设计意图〗1、导出勾股定理的应用4：解决实际问题

2、获得解题经验3：与圆柱或长方体有关的最短路程问题需要“化曲为直”，再利用勾股定理解决

8.

(毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(

B

)A. 3，4，5

B. 1，2，3

C. 6，7，8

D. 2，3，4 〖设计意图〗1、导出勾股定理的逆定理的应用：判别直角三角形

2、获取解题经验4：直角三角形的判定方法：①边---如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；②角---有一个是直角或者两锐角互余的三角形是直角三角形.

四、最终得到本章知识体系

内容在Rt△ABC中，C = 90°，变形式则 勾股定理互逆验证已知直角三角形两边长求第三边长在直角三角形中，设未知数，利用勾股定理列方程求边长在数轴上表示无理数解决实际问题应用勾股定理定理原命题命题互逆命题逆命题内容勾股定理的逆定理验证判别直角三角形应用证垂直，求面积、边长、角度如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么它是直角三角形互逆定理

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五、作业布置

1.

(山西) 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是

(

C

) A. 黄金分割

B. 垂径定理

C. 勾股定理

D. 正弦定理

2.

如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB = 90°，AE = 6，BE = 8，则阴影部分的面积是(

C

) DAA. 48

B. 60

C. 74

D. 80 E

CB

3.

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是

(

B

) A. 如果∠A﹣∠B =∠C，那么△ABC是直角三角形

B. 如果a2b2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C = 90°

C. 如果∠A：∠B：∠C = 1：3：2，那么△ABC是直角三角形

D. 如果a2：b2：c2= 9：16：25，那么△ABC是直角三角形

4.

(18云南6，3分) 在Rt△ABC中，AB =34，AC = 5，若BC边上的高等于3，则BCA边的长为

9或1

.

34解：分以下两种情况讨论：

5343

5

DCB544BC

55.

如图，矩形ABCD中，AB = 12cm，BC = 24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠. (1) 判别△BDE的形状，并证明你的判别；

(2) 求图中阴影部分的面积. 解：(1)

△BDE是等腰三角形，证明略.

(2) 设BE = DE = x cm，则AE = (24﹣x) cm.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2AB2BE2，

即(24x)2122x2，解得：x = 15，∴DE = 15.

∴S△BDE =A3D11DEAB151290(cm2). 即图中阴影部分的面积为(cm2). 22第

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